课时作业43空间点、直线、平面之间的位置关系一、选择题1在下列命题中，不是公理的是(A)A平行于同一个平面的两个平面相互平行B过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面C如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内D如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线解析：选项A是面面平行的性质定理，是由公理推证出来的，而公理是不需要证明的2若空间三条直线a，b，c满足ab，bc，则直线a与c(D)A一定平行 B一定相交C一定是异面直线 D一定垂直解析：两条平行线中一条与第三条直线垂直，另一条直线也与第三条直线垂直故选D.3空间四边形两对角线的长分别为6和8，所成的角为45，连接各边中点所得四边形的面积是(A)A6 B12C12 D24解析：如图，已知空间四边形ABCD，对角线AC6，BD8，易证四边形EFGH为平行四边形，EFG或FGH为AC与BD所成的角，大小为45，故S四边形EFGH34sin456.故选A.4(2019南宁市摸底联考)在如图所示的正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是棱B1B，AD的中点，异面直线BF与D1E所成角的余弦值为(D)A. B.C. D.解析：如图，过点E作EMAB，过M点作MNAD，取MN的中点G，连接NE，D1G，所以平面EMN平面ABCD，易知EGBF，所以异面直线BF与D1E的夹角为D1EG，不妨设正方体的棱长为2，则GE，D1G，D1E3，在D1EG中，cosD1EG，故选D.5已知异面直线a，b分别在平面，内，且c，那么直线c一定(C)A与a，b都相交 B只能与a，b中的一条相交C至少与a，b中的一条相交 D与a，b都平行解析：如果c与a、b都平行，那么由平行线的传递性知a、b平行，与异面矛盾故选C.6到空间不共面的四点距离相等的平面的个数为(C)A1 B4C7 D8解析：当空间四点不共面时，则四点构成一个三棱锥当平面一侧有一点，另一侧有三点时，如图1.令截面与四棱锥的四个面之一平行，第四个顶点到这个截面的距离与其相对的面到此截面的距离相等，这样的平面有4个；当平面一侧有两点，另一侧有两点时，如图2，当平面过AB，BD，CD，AC的中点时，满足条件因为三棱锥的相对棱有三对，则此时满足条件的平面有3个所以满足条件的平面共有7个，故选C.二、填空题7三条直线可以确定三个平面，这三条直线的公共点个数是0或1.解析：因三条直线可以确定三个平面，所以这三条直线有两种情况：一是两两相交，有1个交点；二是互相平行，没有交点8(2019武汉调研)在正四面体ABCD中，M，N分别是BC和DA的中点，则异面直线MN和CD所成角的余弦值为.解析：取AC的中点E，连接NE，ME，由E，N分别为AC，AD的中点，知NECD，故MN与CD所成的角即MN与NE的夹角，即MNE.设正四面体的棱长为2，可得NE1，ME1，MN，故cosMNE.9.如图所示，在空间四边形ABCD中，点E，H分别是边AB，AD的中点，点F，G分别是边BC，CD上的点，且，则下列说法正确的是.(填写所有正确说法的序号)EF与GH平行；EF与GH异面；EF与GH的交点M可能在直线AC上，也可能不在直线AC上；EF与GH的交点M一定在直线AC上解析：连接EH，FG(图略)，依题意，可得EHBD，FGBD，故EHFG，所以E，F，G，H共面因为EHBD，FGBD，故EHFG，所以EFGH是梯形，EF与GH必相交，设交点为M.因为点M在EF上，故点M在平面ACB上同理，点M在平面ACD上，点M是平面ACB与平面ACD的交点，又AC是这两个平面的交线，所以点M一定在直线AC上三、解答题10.如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别是A1B1，B1C1的中点问：(1)AM与CN是否是异面直线？说明理由；(2)D1B与CC1是否是异面直线？说明理由解：(1)AM与CN不是异面直线理由如下：如图，连接MN，A1C1，AC.因为M，N分别是A1B1，B1C1的中点，所以MNA1C1.又因为A1A綊C1C，所以四边形A1ACC1为平行四边形，所以A1C1AC，所以MNAC，所以A，M，N，C在同一平面内，故AM和CN不是异面直线(2)D1B与CC1是异面直线理由如下：因为ABCDA1B1C1D1是正方体，所以B，C，C1，D1不共面假设D1B与CC1不是异面直线，则存在平面，使D1B平面，CC1平面，所以D1，B，C，C1，这与B，C，C1，D1不共面矛盾所以假设不成立，即D1B与CC1是异面直线11如图，在三棱锥PABC中，PA底面ABC，D是PC的中点已知BAC，AB2，AC2，PA2.求：(1)三棱锥PABC的体积；(2)异面直线BC与AD所成角的余弦值解：(1)SABC222，三棱锥PABC的体积为VSABCPA22.(2)如图，取PB的中点E，连接DE，AE，则EDBC，所以ADE(或其补角)是异面直线BC与AD所成的角在ADE中，DE2，AE，AD2，cosADE.故异面直线BC与AD所成角的余弦值为.12如图是三棱锥DABC的三视图，点O在三个视图中都是所在边的中点，则异面直线DO和AB所成角的余弦值等于(A)A. B.C. D.解析：由三视图及题意得如图所示的直观图，从A出发的三条线段AB，AC，AD两两垂直且ABAC2，AD1，O是BC中点，取AC中点E，连接DE，DO，OE，则OE1，又可知AE1，由于OEAB，故DOE即为所求两异面直线所成的角或其补角在直角三角形DAE中，DE，由于O是BC的中点，在直角三角形ABC中可以求得AO，在直角三角形DAO中可以求得DO.在三角形DOE中，由余弦定理得cosDOE，故所求异面直线DO与AB所成角的余弦值为.13正方体ABCDA1B1C1D1中，E为线段B1D1上的一个动点，则下列结论中正确的是(填序号)ACBE；B1E平面ABCD；三棱锥EABC的体积为定值；直线B1E直线BC1.解析：因AC平面BDD1B1，故正确；因B1D1平面ABCD，故正确；记正方体的体积为V，则VEABCV，为定值，故正确；B1E与BC1不垂直，故错误14.如图所示，在三棱柱ABCA1B1C1中，底面是边长为2的正三角形，侧棱A1A底面ABC，点E，F分别是棱CC1，BB1上的点，点M是线段AC上的动点，EC2FB2.(1)当点M在何位置时，BM平面AEF?(2)若BM平面AEF，判断BM与EF的位置关系，说明理由；并求BM与EF所成的角的余弦值解：(1)解法1：如图所示，取AE的中点O，连接OF，过点O作OMAC于点M.因为侧棱A1A底面ABC，所以侧面A1ACC1底面ABC.又因为EC2FB2，所以OMECFB且OMECFB，所以四边形OMBF为矩形，BMOF.因为OF平面AEF，BM平面AEF，故BM平面AEF，此时点M为AC的中点解法2：如图所示，取EC的中点P，AC的中点Q，连接PQ，PB，BQ.因为EC2FB2，所以PE綊BF，所以PQAE，PBEF，所以PQ平面AFE，PB平面AEF，因为PBPQP，PB平面PBQ，PQ平面PBQ，所以平面PBQ平面AEF.又因为BQ平面PBQ，所以BQ平面AEF.故点Q即为所求的点M，此时点M为AC的中点(2)由(1)知，BM与EF异面，OFE(或MBP)就是异面直线BM与EF所成的角或其补角易求AFEF，MBOF，OFAE，所以cosOFE，所以BM与EF所成的角的余弦值为.15平面过正方体ABCDA1B1C1D1的顶点A，平面CB1D1，平面ABCDm，平面ABB1A1n，则m，n所成角的正弦值为(A)A. B.C. D.解析：如图所示，设平面CB1D1平面ABCDm1，因为平面CB1D1，所以m1m，又平面ABCD平面A1B1C1D1，且平面B1D1C平面A1B1C1D1B1D1，所以B1D1m1，故B1D1m.因为平面ABB1A1平面DCC1D1，且平面CB1D1平面DCC1D1CD1，同理可证CD1n.故m，n所成角即直线B1D1与CD1所成角，在正方体ABCDA1B1C1D1中，CB1D1是正三角形，故直线B1D1与CD1所成角为60，其正弦值为.16(2019成都诊断性检测)在长方体ABCDA1B1C1D1中，已知底面ABCD为正方形，P为A1D1的中点，AD2，AA1，点Q是正方形ABCD所在平面内的一个动点，且QCQP，则线段BQ的长度的最大值为6.解析：以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，则P(1,0，)，C(0,2,0)，B(2,2,0)，Q(x，y,0)，因为QCQP，所以(x2)2(y2)24，所以(y2)24(x2)24|y2|24y0，BQ，根据4y0可得448y36，所以2BQ6，故线段BQ的长度的最大值为6.