本章整合 第三章统计案例 统计案例 专题一 专题二 专题一回归分析的基本思想及其应用回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法 其步骤是先画出两个变量的散点图 然后利用常见的函数模型去拟合样本点 拟合的效果如何常借助于R2去分析 或利用残差图去分析 专题一 专题二 应用1下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x 单位 吨 与相应的生产能耗y 单位 吨标准煤 的几组对照数据 1 请画出上表数据的散点图 2 请根据上表提供的数据 用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程 3 已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤 试根据 2 求出的线性回归方程 预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤 参考数值 3 2 5 4 3 5 4 6 4 5 66 5 专题一 专题二 提示 画出散点图 再进行回归分析 解 1 由题意 作散点图如图 专题一 专题二 专题一 专题二 应用2为研究质量x 单位 g 对弹簧长度y 单位 cm 的影响 对不同质量的6个物体进行测量 数据如表所示 1 作出散点图并求回归直线方程 2 求出R2并说明回归模型拟合的程度 3 进行残差分析 提示 本题考查残差分析 一般从以下几方面予以说明 1 散点图 2 相关系数 3 R2 4 残差图中的异常点和样本点的带状分布区域的宽窄 专题一 专题二 专题一 专题二 2 列表如下 3 由残差表中的数值可以看出第3个样本点的残差比较大 需要确认在采集这个数据的时候是否有人为的错误 如果有的话 需要纠正数据 重新建立回归模型 由表中数据可以看出残差点比较均匀地落在不超过0 15的狭窄的水平带状区域中 说明选用的线性回归模型的精度较高 由以上分析可知 弹簧长度与所挂物体的质量成线性关系 专题一 专题二 专题二独立性检验的思想及应用独立性检验的基本思想类似于数学中的反证法 要确认 两个分类变量有关系 这一结论成立的可信程度 首先假设该结论不成立 即假设结论 两个分类变量没有关系 成立 在该假设下构造的随机变量K2应该很小 如果由观测数据计算得到的K2的观测值k很大 那么在一定程度上说明假设不合理 根据随机变量K2的含义 可以通过概率P K2 k0 来评价该假设不合理的程度 由实际计算出的k 说明该假设不合理的程度 即 两个分类变量有关系 这一结论成立的可信程度 专题一 专题二 应用1某学校对高三学生作了一项调查发现 在平时的模拟考试中 性格内向的学生426人中有332人在考前心情紧张 性格外向的学生594人中有213人在考前心情紧张 作出等高条形图 利用图形判断考前心情紧张与性格类型是否有关系 提示 本题考查独立性检验 作出2 2列联表 根据列联表数据作出等高条形图 对比乘积的差距判断两个分类变量是否有关系 解 作列联表如下 专题一 专题二 相应的等高条形图如图所示 图中阴影部分表示考前心情紧张与考前心情不紧张中性格内向的比例 从图中可以看出考前紧张的样本中性格内向占的比例比考前心情不紧张样本中性格内向占的比例高 可以认为考前紧张与性格类型有关 专题一 专题二 应用2考察小麦种子经灭菌与否跟发生黑穗病的关系 经试验观察 得到数据如下表 试分析能否在犯错误的概率不超过0 05的前提下认为种子灭菌与小麦是否发生黑穗病有关 专题一 专题二 提示 求出随机变量K2的观测值k进行判断 解 由列联表所示数据可求K2的观测值为由此可知 在犯错误的概率不超过0 05的前提下认为种子灭菌与小麦是否发生黑穗病有关系 2 3 1 1 2015 课标全国 高考 根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化硫年排放量 单位 万吨 柱形图 以下结论中不正确的是 A 逐年比较 2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著B 2007年我国治理二氧化硫排放显现成效C 2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势D 2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关 2 3 1 解析 由题中柱形图知 2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势 故其排放量与年份负相关 故D错误 答案 D 2 3 1 2 2015 课标全国 高考 某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费 需了解年宣传费x 单位 千元 对年销售量y 单位 t 和年利润z 单位 千元 的影响 对近8年的年宣传费xi和年销售量yi i 1 2 8 数据作了初步处理 得到下面的散点图及一些统计量的值 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 3 2016 全国丙高考 下图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量 单位 亿吨 的折线图 注 年份代码1 7分别对应年份2008 2014 1 由折线图看出 可用线性回归模型拟合y与t的关系 请用相关系数加以说明 2 建立y关于t的回归方程 系数精确到0 01 预测2016年我国生活垃圾无害化处理量 2 3 1 2 3 1 解 1 由折线图中数据和附注中参考数据得因为y与t的相关系数近似为0 99 说明y与t的线性相关程度相当高 从而可以用线性回归模型拟合y与t的关系 2 3 1