1 7定积分的简单应用 定积分的简单应用 一 定积分的几何意义是什么 1 如果函数f x 在 a b 上连续且f x 0时 那么 定积分就表示以y f x 为曲边的曲边梯形面积 曲边梯形的面积 复习引入 曲边梯形的面积的负值 2 定积分的数值在几何上都可以用曲边梯形面积的代数和来表示 定理 微积分基本定理 牛顿 莱布尼茨公式 如果f x 是区间 a b 上的连续函数 并且F x f x 则 复习回顾 2 用定积分表示阴影部分面积 热身练习 曲边梯形 三条直边 一条曲边 曲边形 面积A A1 A2 问题探究 曲边形面积的求解思路 新课 一 定积分在几何中的应用 例 计算由曲线 与 所围图形的面积 解 作出草图 所求面积为阴影部分的面积 解方程组 得交点横坐标为 及 曲边梯形 曲边梯形 归纳 求由曲线围成的平面图形面积的解题步骤 1 画草图 求出曲线的交点坐标 3 确定被积函数及积分区间 4 计算定积分 求出面积 2 将曲边形面积转化为曲边梯形面积 直线y x 4与x轴交点为 4 0 解 作出y x 4 的图象如图所示 方法2 方法3 Y型求解法 解 求两曲线的交点 8 2 解 求两曲线的交点 于是所求面积 知识回顾 求两曲线围成的平面图形的面积的一般步骤 1 作出示意图 弄清相对位置关系 2 求交点坐标 确定积分的上限 下限 3 确定积分变量及被积函数 4 计算定积分 求出面积 定积分在几何中的应用 1 求下列曲线所围成的图形的面积 1 y x2 y 2x 3 2 y ex y e x 0 练习 设物体运动的速度v v t v t 0 则此物体在时间区间 a b 内运动的距离s为 1 变速直线运动的路程 二 定积分在物理中的应用 解 由速度 时间曲线可知 2 变力所做的功 物体在变力F x 的作用下做直线运动 并且物体沿着与F x 相同的方向从x a点移动到x b点 则变力F x 所做的功为 例2如图 在弹性限度内 将一弹簧从平衡位置拉到离水平位置L米处 求克服弹力所作的功 解 由胡克定律知在弹性限度内 拉伸 或压缩 弹簧所需的力 x 与弹簧拉伸 或压缩 的长度x成正比 即 F x kx 所以据变力作功公式有 1 一物体在力F x 3x 4 单位 N 的作用下 沿着与力F相同的方向 从x 0处运动到x 4处 单位 m 求F x 所作的功 练习 40J 2 一物体沿直线以v 2t 3 t的单位为s v的单位为m s 的速度运动 求该物体在3 5s间行进的路程 3 一物体以速度v 3t2 2t m s 作直线运动 计算它在t 0到t 3s这段时间内的平均速度 12m s 定积分在物理中的应用 练习 见教材P60 3题 4题 5题 6题 三 小结 求两曲线围成的平面图形的面积的一般步骤 1 作出示意图 弄清相对位置关系 2 求交点坐标 确定积分的上限 下限 3 确定积分变量及被积函数 四 作业 P583题 4题 4 计算定积分 求出面积 解 求两曲线的交点 8 2 解 求两曲线的交点 于是所求面积 二 微积分基本定理内容是什么 设函数f x 在区间 a b 上连续 并且F x f x 则 这个结论叫微积分基本定理 fundamentaltheoremofcalculus 又叫牛顿 莱布尼茨公式 Newton LeibnizFormula 解 作出y2 x y x2的图象如图所示 即两曲线的交点为 0 0 1 1 点评 求两曲线围成的平面图形的面积的一般步骤 思考题 在曲线y x2 x 0 上某点A处作切线 使之与曲线及x轴围成图形的面积为1 12 求过点A的切线方程