研究高考试题提高复习效率 昆明第八中学张智方 一 关注时政 考题 考纲和教材对比研究 复习不留盲点 课标2卷前8题一般都是一些常见题型 多数学生都比较熟悉 但如果留下盲点 就会本该熟悉的问题变成不熟悉的问题 就会影响学生的正常发挥 新题型从何而来 怎样关注 让我们先来看看以下案例 或许会从中受到启发 右边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著 九章算术 中的 更相减损术 执行该程序框图 若输入分别为14 18 则输出的 理8 文案例1 2015课标 卷 8 A 0B 2C 4D 14 此题本来也不算什么新题型 难度也只属于中档题 问题在于从2011年到2014年全国卷中都未曾出现过此类题型 如果我们在指导学生的复习过程中 不加以比较研究 不引起注意 势必会留下盲点 如果在前8题中让学生遇到不熟悉的题型 就会直接影响学生的正常发挥 从试卷分析的情况来看 此题虽不难 但得分率却不高 甚至还低于后两题 也可以证明这一点 国务院副总理刘延东在2015年全国普通高考命题工作会议上 强调普通高考命题必须重视且力求全面体现 一点四面 一点 为 以立德树人为重点 四面 为 社会主义核心价值 依法治国 中国优秀传统文化和创新能力 的考查 怎样才能想到 注意 从何而来 关注时政 由其是关注与高考有关的工作会义精神 根据数学学科特点 数学学科的命题就会在 中国优秀传统文化 和 创新能力 两个方面回应这一要求 我国古代数学名著 九章算术 有 米谷粒分 题 粮仓开仓收粮 有人送来米1534石 验得米内夹谷 抽样取米一把 数得254粒米内夹谷28粒 则这批米内夹谷约为A 134石B 169石C 338石D 1365石 案例2 2015年高考湖北卷 理2 文2 案例3 2015年全国新课标 卷 理6 文6 九章算术 是我国古代内容极为丰富的数学名著 书中有如下问题 今有委米依垣内角 下周八尺 高五尺 问 积及为米几何 其意思为 在屋内墙角处堆放米 如图 米堆为一个圆锥的四分之一 米堆底部的弧度为8尺 米堆的高为5尺 问米堆的体积和堆放的米各为多少 已知1斛米的体积约为1 62立方尺 圆周率约为3 估算出堆放斛的米约有A 14斛B 22斛C 36斛D 66斛 这些题目都不难 源于课本 课标2卷更简单 在复习时有所注意 学生就会解了 我国的教育方针决定了教育的基本目标在于为社会主义的精神文明和物质文明建设培养合格的建设人才 这就必然要求高考命题必须将政治与政策方面的要求与规定作为最为重要的遵循 高考题总会体现时代要求 普通高中数学课程标准 实验 是高中数学教学的基本纲领 也是高考命题的基本依据 高考总会遵循 课标 规定 我们要研读 课标 才能有明确的方向 课标版考纲规定 对数学知识的考查 既要全面 又要突出重点 对支持学科知识体系的重点内容 要占有较大比例 构成数学试卷的主体 注重学科的内在联系和知识的综合性 不刻意追求覆盖面 从学科整体高度和思维价值考虑问题 在知识网络的交汇点上设计试题 使对数学知识的考查达到必要的深度 二 研究知识网络的交汇点 建立解题模型 考试大纲指出 数学学科的系统性和严密性决定了数学知识之间深刻的内在联系 包括各部分知识的纵向联系和横向联系 要善于从本质上抓住这些联系 进而通过分类 梳理 综合 构建数学试卷的框架结构 高考是选拔性考试 高考命题以能力立意 考试大纲规定 对数学知识的考查必须达到必要的深度 区分度和适当的难度 哪么如何来应对这些难度呢 我们要做的工作是如何研究这些结构 根据考试大纲的要求 我们要认真研究高考数学是怎样构建试卷框架的 弄清楚这些框架的主干和交接点 抓住这些框架的主干和交接点 抓住各部分知识的纵向和横向联系 从本质上抓住这些联系 在复习的过程中 引导学生构建解题技能系统 构建一些既方便记忆 又能灵活变通的解题模式 才能使学生从茫茫题海中解脱出来 在复习过程中游刃有余 在解析几何中 直线和圆锥曲线的相关问题是支持学科知识体系的重点内容 属于重点考查的内容 经过焦点的直线联系着直线的斜率 圆锥曲线的离心率 焦点分焦点弦的比等等 虽然教材不要求我们引入第二定义 更不能讲解圆锥曲线统一的极坐标方程 但是正因为如此 此处却潜藏着较大的命题空间 而且对基础知识的考查也总会达到一定的深度 案例4 2009年全国高考 卷 9 已知直线y k x 2 k 0 与抛物线C y2 8x相交于A B两点 F为C的焦点 若 FA 2 FB 则K B C D A 直线和圆锥曲线的综合问题 总是高考的一重点和热点 历年都总会在高考题中出现 都会有一定难度 事物都有两面性 虽然难 但也存在一些 不可回避的模式 把握了这些模式 也就有了难题的破解之法 葵花宝典 总会有的 案例5 2009年全国高考 卷 11 已知双曲线C 的右焦点为F 过F且斜率为的直线交双曲线C于A B两点若 则C的离心率为 A B C D 以上两题 一题是直线过准线与对称轴的交点 一题是直线过焦点 这两点可把好多知识联起来 顺应了高考在知识网络的交汇点上命题的要求 在处理圆锥曲线的焦点弦问题中 圆锥曲线的统一的极坐标方程仍然有较大的优势 因为它集倾斜角 斜率 弦长 焦点分弦的比 离心率等等于一体 而且推导过程也是用三角函数的定义解题的良好体现 它还能和向量的几何意义和运算有机结合来 我们没有理由把这个知识网络的交汇点给掐断 作为教师用它去深入研究教材 破解一些考题是可以收到奇效的 案例4是经过准线的直线和圆锥曲线相交 案例5是经过焦点的直线和圆锥曲线相交 让我们先来看看它们的联系 公式一 三倾斜角的关系 推导如下 设直线AB的倾斜角为 p为焦准距 则 又 化简得 同理可得 公式一 三倾斜角的关系 过圆锥曲线焦点F的直线与曲线交于A B两点 与准线l交于点C 直线的斜率为k 倾斜角为 曲线的离心率为e 若 设 则 根据圆锥曲的极坐标方程得 公式二 倾斜角 离心率 焦点分焦点弦的比三者的关系 焦点在x轴上时 这个公式方便记忆 不死板 还保持原有的灵活性 从而得 焦点在y轴上时 用它去解案例5 可见一斑 简单明了 案例5 2009年全国高考 卷 11 已知双曲线C 的右焦点为F 过F且斜率为的直线交双曲线C于A B两点若 则C的离心率为 A B C D 附题 解法如下 又 附题 案例4 已知直线y k x 2 k 0 与抛物线C y2 8x相交于A B两点 F为C的焦点 若 FA 2 FB 则K B C D A 解答案例4 如下 所以 如此简单易记的公式 如此低端的运算要求 还会有谁不能解吗 奇妙吧 根据正弦 余弦 正切三者之间的关系和公式二得 还可以进一步得出如下公式 公式三 过圆锥曲线焦点F的直线与曲线交于A B两点 与准线交于点C 直线的斜率为k 倾斜角为 曲线的离心率为e 若 公式四 圆锥曲线的准线l与对称轴交于点E 过E的直线与曲线交于A B两点 直线的斜率为k 曲线的离心率为e 相应的焦点为F 若 则 案例6 2010年全国高考 卷 12 A 1 B C D 2 案例7 2008年全国高考 卷 15 已知F是抛物线C y2 4x的焦点 过F且斜率为1的直线交C于A B两点 设 FA FB 则 FA 与 FB 的比值等于 案例8 2010年全国高考1卷 16 三 研究高考试题的解法 精找突破点 让学生快速找到解题捷径 作为教师要解高考题不是难事 还可借助于发达的网络工具 但要培养学生在紧张的高考氛围中 在有限的时间内 较好地发挥出来 却不是一件轻松的工作 我们必须研究高考题 找到通俗快捷的方法 才能让学生面对考题迅速找到突破点 研究什么 方法从何而来 高考毕竟是中学生的高考 不需要多深的解题理论和方法 解法要通俗 易于接受 要方便记忆 遇到相关问题情境有感知 解法简捷 易于操作 一 看数字特征和结构特征 题总离不开数字和字母的组合 总会留下组合的痕迹 总会以一些数字和字母结构特征显现出来 研究这些特征 发现这些痕迹是最好的破题办法 我认为 主要要落实三看 案例9 2013年全国高考 卷 11 我们都看到过网上流行的解答 繁琐 不易找到突破点 一个字 难 如果让学生学会看数字特征 养成看数字特征的习惯 情况就不一样了 看什么 怎样看 看数字间的联系 看表达式和数字之间的联系 看表达式中的数字的共同点 看区间端点的数字特点 再看下面的解法二 N 过MF的中点C作CD y轴于D 则 案例10 2013年全国高考 卷 12 先来看看下面网上流行的解答 所占篇幅远远超过前面所提到的高考押轴题所占篇幅 运算能力很强的同学也至少要用10分钟才可完成 运算求解能力 会根据法则 公式进行正确运算 变形和数据处理 能根据问题的条件寻找与设计合理 简捷的运算途径 能根据要求对数据进行估计和近似计算 运算能力包括对数字的计算 估值和近似计算 运算能力包括分析运算条件 探究运算方向 我们再来看看 考试大纲 对运算能力的要求是怎么说的 遵循 大纲 规定 解题不拘泥于某种形式 需要运算就运算 能用估值就估值 才能提高能力 提高解题效率 用下面的方法 最多1分钟就可以搞定 选择题是让我们选出正确选项 不是要硬算出来 题题硬算 还能在规定的时间内解答完吗 学数学是为了什么 学会观察判断 争取更多时间解决问题 不是更重要吗 再看下面思考二 思考二 特征一 特征二 案例11 2013年全国高考 卷 12 A 2 B C D 1 特征 1 两向量模相等 2 两向量有对称关系 3 夹角 解以上这些难题用时不到一分钟 观察特征 思路简捷明快 由于以上特征得到启发 作两个有公共斜边的直角三角形 案例12 2015课标 卷 理10 文11 如图 长方形ABCD的边AB 2 BC 1 O是AB的中点 点P沿着边BC CD与DA运动 记 BOP x 将动P到A B两点距离之和表示为 x的函数f x 则y f x 的图像大致为 从点 的运动过程可以看出 轨迹关于直线 对称 且 且轨迹非线型 故选B 我们先来看看网上流行的解答 案例12属于创新题型 考查了学生的建模能力 观察能力和把知识迁移到新情境中的能力 有一定难度 网上流行的解答繁难 让学生望而生畏 如果注意到点P沿着边BC CD与DA运动时有C和D两个转折点 淘汰了C和D 又 BOP x x和PA PB是角与边的关系 每段图象不可能是线段 或射线 用时不到1分钟即可得出正确选项B 已知函数 讨论 的单调性 案例13 2014课标 卷 理21 设 求 的最大值 估计ln2的近似值 已知 特征一 求导后是一个完全平方式 精确到0 001 特征二 由此想到 从整体考虑会更简练 由此想到 是题中的一个基本题干 应 特征三 题中多处数字是2的倍数 猜想b最大值有可能是2 整体用 探究如下 所以函数f x 是单调增函数 若注意到以上三特征就会很顺畅的求导变形 如下 上是增函数 否则 存在 不满足题意 的最大值是2 已知 估计ln2的近似值 精确到0 001 从极值点来考虑 解得 当 时 解得 会观察数字和式子的结构特征 能迅速抓住问题的关键 直达问题的核心 就能做到有效的思考和表述 设函数 当 时 设当 时 求a的取值范围 证明 特征一 整体用不繁 是增函数 当 时 特征二 是一个很复杂的运算关系 和 案例14 2010课标 卷 理22 参数分离法不适用 特征三 是两边缩放的工具 解答如下 可用洛比达法则 证明 当 是增函数 设当 时 由 得 当 时 时 当 时 是减函数 此时存在 使 不符合题意 当 所以 的取值范围是 存在 不符合题意 用极端原理寻找解题突破点是多少年来解题的热点方法 应不断强化应用 让学生掌握 案例15 2008课标 卷 理9 A B C D 二 看极端位置 对于椭圆和双曲线 与离心率有关的有如下极端数据 把它们记住 对迅速找出选项大有帮助 有关离心率的取值范围问题 我们可以先根据极端原理 把一些相关数据在头脑中存起来 加深印象 可帮助我们迅速找到简单快捷的解题方法 我们可以用这些数据作界 去逼近选项中的数字 请看案例15的解法 A B