2.5平面向量应用举例25.1平面几何中的向量方法学习目标1.学习用向量方法解决某些简单的平面几何问题及其他一些实际问题的过程.2.体会向量是一种处理几何问题的有力工具.3.培养运算能力、分析和解决实际问题的能力知识点一几何性质及几何与向量的关系设a(x1，y1)，b(x2，y2)，a，b的夹角为.思考1证明线线平行、点共线及相似问题，可用向量的哪些知识？答案可用向量共线的相关知识：ababx1y2x2y10(b0)思考2证明垂直问题，可用向量的哪些知识？答案可用向量垂直的相关知识：abab0x1x2y1y20.梳理用向量解决常见平面几何问题的技巧问题类型所用知识公式表示线平行、点共线等问题共线向量定理ababx1y2x2y10，其中a(x1，y1)，b(x2，y2)，b0垂直问题数量积的运算性质abab0x1x2y1y20，其中a(x1，y1)，b(x2，y2)，且a，b为非零向量夹角问题数量积的定义cos(为向量a，b的夹角)，其中a，b为非零向量长度问题数量积的定义|a|，其中a(x，y)，a为非零向量知识点二向量方法解决平面几何问题的步骤1建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题2通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题3把运算结果“翻译”成几何关系类型一利用向量证明平面几何问题例1如图所示，在正方形ABCD中，E，F分别是AB，BC的中点，求证：AFDE.考点平面几何中的向量方法题点利用向量解决平面几何问题证明方法一设a，b，则|a|b|，ab0.又a，b，所以ab|a|2|b|20.故，即AFDE.方法二如图所示，建立平面直角坐标系，设正方形的边长为2，则A(0,0)，D(0,2)，E(1,0)，F(2,1)，则(2,1)，(1，2)因为(2,1)(1，2)220.所以，即AFDE.反思与感悟用向量证明平面几何问题的两种基本思路(1)向量的线性运算法的四个步骤选取基底；用基底表示相关向量；利用向量的线性运算或数量积找出相应关系；把几何问题向量化(2)向量的坐标运算法的四个步骤建立适当的平面直角坐标系；把相关向量坐标化；用向量的坐标运算找出相应关系；把几何问题向量化跟踪训练1如图，在正方形ABCD中，P为对角线AC上任一点，PEAB，PFBC，垂足分别为E，F，连接DP，EF，求证：DPEF.考点平面几何中的向量方法题点利用向量解决平面几何问题证明方法一设正方形ABCD的边长为1，AEa(0a1)，则EPAEa，PFEB1a，APa，()()1acos1801(1a)cos90aacos45a(1a)cos45aa2a(1a)0.，即DPEF.方法二如图，以A为原点，AB，AD所在直线分别为x轴，y轴建立平面直角坐标系设正方形ABCD的边长为1，AP(00)，则A(0,0)，C(4，a)，D(0，a)，E(2,0)，所以(2，a)，(4，a)因为，所以0，所以24(a)a0，即a28.所以a2，所以(2，2)，所以|2.5在ABCD中，AD1，BAD60，E为CD的中点，若1，则AB的长为()A1B.C.D.考点平面几何中的向量方法题点利用向量解决平面几何问题答案B解析设AB的长为a(a0)，因为，所以()22a2a1.由已知，得a2a11，又因为a0，所以a，即AB的长为.6已知非零向量与满足0且，则ABC的形状是()A三边均不相等的三角形B直角三角形C等腰(非等边)三角形D等边三角形考点平面几何中的向量方法题点判定多边形的形状答案D解析由0，得角A的平分线垂直于BC，ABAC.而cos，又，0，180，BAC60.故ABC为等边三角形，故选D.7点O是三角形ABC所在平面内的一点，满足，则点O是ABC的()A三个内角的角平分线的交点B三条边的垂直平分线的交点C三条中线的交点D三条高的交点考点平面几何中的向量方法题点利用向量解决平面几何问题答案D解析，()0，0，OBAC.同理OABC，OCAB，O为三条高的交点二、填空题8已知在矩形ABCD中，AB2，AD1，E，F分别为BC，CD的中点，则()_.考点平面几何中的向量方法题点利用向量解决平面几何问题答案解析如图，以A为坐标原点O，以AB所在直线为x轴，以AD所在直线为y轴建立平面直角坐标系，则A(0，0)，B(2,0)，D(0,1)，C(2,1)E，F分别为BC，CD的中点，E，F(1,1)，(2,1)，()3(2)1.9已知直线axbyc0与圆x2y21相交于A，B两点，若|AB|，则_.考点平面几何中的向量方法题点利用向量解决平面几何问题答案解析如图，作ODAB于点D，则在RtAOD中，OA1，AD，所以AOD60，AOB120，所以|cos12011.10在直角坐标系xOy中，已知点A(0,1)和点B(3,4)，若点C在AOB的平分线上且|2，则_.考点平面几何中的向量方法题点利用向量解决平面几何问题答案解析已知A(0,1)，B(3,4)，设E(0,5)，D(3,9)，四边形OBDE为菱形，AOB的角平分线是菱形OBD