2 2 1综合法与分析法 章 2 2直接证明与间接证明 学习目标1 理解综合法 分析法的意义 掌握综合法 分析法的思维特点 2 会用综合法 分析法解决问题 题型探究 问题导学 内容索引 当堂训练 问题导学 知识点一综合法 思考 阅读下列证明过程 总结此证明方法有何特点 已知a b 0 求证 a b2 c2 b c2 a2 4abc 证明因为b2 c2 2bc a 0 所以a b2 c2 2abc 又因为c2 a2 2ac b 0 所以b c2 a2 2abc 因此a b2 c2 b c2 a2 4abc 答案 答案利用已知条件a 0 b 0和重要不等式 最后推导出所要证明的结论 梳理 1 定义 一般地 利用已知条件和某些数学 等 经过一系列的 最后推导出所要证明的成立 这种证明方法叫做综合法 2 综合法的框图表示 定义 公理 定理 推理论证 结论 P表示 已有的 等 Q表示 已知条件 定义 公理 定理 所要证明 的结论 知识点二分析法 思考 阅读证明基本不等式的过程 试分析证明过程有何特点 答案 答案从结论出发开始证明 寻找使证明结论成立的充分条件 最终把要证明的结论变成一个明显成立的条件 梳理 1 定义 从要证明的出发 逐步寻求使它成立的 直至最后 把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件 等 这种证明方法叫做分析法 2 分析法的框图表示 结论 充分条件 已知条件 定理 定义 公理 题型探究 命题角度1用综合法证明不等式例1已知a b c R 且它们互不相等 求证a4 b4 c4 a2b2 b2c2 c2a2 证明 类型一综合法 证明 a4 b4 2a2b2 b4 c4 2b2c2 a4 c4 2a2c2 2 a4 b4 c4 2 a2b2 b2c2 c2a2 即a4 b4 c4 a2b2 b2c2 c2a2 又 a b c互不相等 a4 b4 c4 a2b2 b2c2 c2a2 1 用综合法证明有关角 边的不等式时 要分析不等式的结构 利用正弦定理 余弦定理将角化为边或边化为角 通过恒等变形 基本不等式等手段 可以从左证到右 也可以从右证到左 还可两边同时证到一个中间量 一般遵循 化繁为简 的原则 2 用综合法证明不等式时常用的结论 反思与感悟 证明 又a b c为不全相等的正实数 且上述三式等号不能同时成立 命题角度2用综合法证明等式例2求证 sin 2 sin 2sin cos 证明 证明因为sin 2 2sin cos sin 2sin cos sin cos cos sin 2sin cos sin cos cos sin sin sin 所以原等式成立 证明三角恒等式的主要依据 1 三角函数的定义 诱导公式及同角基本关系式 2 和 差 倍角的三角函数公式 3 三角形中的三角函数及三角形内角和定理 4 正弦定理 余弦定理和三角形的面积公式 反思与感悟 证明 于是sinBcosC cosBsinC 0 即sin B C 0 因为 B C 从而B C 0 所以B C 类型二分析法 证明 分析法的应用范围及方法 反思与感悟 只需证0 2 而0 2显然成立 证明 2 在锐角 ABC中 求证 tanAtanB 1 证明要证tanAtanB 1 A B均为锐角 cosA 0 cosB 0 即证sinAsinB cosAcosB 即cosAcosB sinAsinB1 当堂训练 1 设a lg2 lg5 b ex xbB a bC a bD 无法确定 答案 2 3 4 5 1 解析 a lg2 lg5 lg10 1 b exb 解析 A cB bC aD 随x取值不同而不同 答案 2 3 4 5 1 解析 2 3 4 5 1 答案 解析 解析根据不等式性质 当a b 0时 才有a2 b2 2 3 4 5 1 答案 2 3 4 5 1 证明 2 3 4 5 1 证明方法一 综合法 原不等式得证 方法二 分析法 x y是正实数 且x y 1 y 1 x 2 3 4 5 1 即证 1 x 1 x 1 9x 1 x 即证2 x x2 9x 9x2 即证4x2 4x 1 0 即证 2x 1 2 0 此式显然成立 原不等式成立 规律与方法 1 综合法证题是从条件出发 由因导果 分析法是从结论出发 执果索因 2 分析法证题时 一定要恰当地运用 要证 只需证 即证 等词语 3 在解题时 往往把综合法和分析法结合起来使用 本课结束