24 2 2直线和圆的位置关系第2课时切线的性质和判定 下雨天转动雨伞时飞出的水 以及在砂轮上打磨工件飞出的火星 均沿着圆的切线的方向飞出 1 当你在下雨天快速转动雨伞时水飞出的方向是什么方向 2 砂轮打磨零件飞出火星的方向是什么方向 一 情境导入 思考1如图 在 O中 经过半径OA的外端点A作直线l OA 则圆心O到直线l的距离是多少 直线l和 O有什么位置关系 O l A 二 探索新知 分析 直线l OA 而点A是 O的半径OA的外端点 直线l与 O只有一个交点 并且圆心O到直线l的距离是垂线段OA 即是 O的半径 直线l与 O相切 经过半径的外端且垂于这条半径的直线是圆的切线 条件 1 经过半径的外端 圆的切线判定定理 2 垂直于过该点半径 A l l OA 且l经过 O上的A点 直线l是 O的切线 符号语言表达 归纳总结 说明 在此定理中 题设是 经过半径的外端 和 垂直于这条半径 结论为 直线是圆的切线 两个条件缺一不可 否则就不是圆的切线 下面两个反例说明只满足其中一个条件的直线不是圆的切线 思考2将思考1中的问题反过来 如图 如果直线l是 O的切线 切点为A 那么半径OA与直线l是不是一定垂直呢 分析 直线l是 O的切线 切点为A 圆心O到l的距离等与半径 OA是圆心到直线l的距离 OA 直线l 归纳总结切线的性质定理 圆的切线垂直于过切点的半径 符号语言 直线l是 O的切线 切点为A OA 直线l 证明 过点O作OE AC于点E 连接OD OA O与AB相切于点D OD AB 又 ABC为等腰三角形 O是底边BC的中点 AO是 BAC的平分线 OE OD 即OE是 O的半径 AC经过 O的半径OE的外端点且垂直于OE AC是 O的切线 例1如图 ABC为等腰三角形 O是底边BC的中点 腰AB与 O上相切与点D 求证 AC是 O的切线 三 掌握新知 例2如图 AB为 O直径 C是 O上一点 D在AB的延长线上 DCB A 1 CD与 O相切吗 若相切 请证明 若不相切 请说明理由 解 CD与 O相切 理由如下 OC OB OCB OBC AB是直径 ACB 90 A OBC 90 DCB A OCB OBC DCB OCB 90 OCD 90 OC是半径 CD与 O相切 2 若CD与 O相切 且 D 30 BD 10 求 O的半径 解 在Rt OCD中 D 30 COD 60 A 30 BCD 30 BC BD 10 AB 20 O的半径为10 1 如图 AB是 O的直径 ABC 45 AT AB 求证 AC是 O的切线 解 AB AT ATB ABT 450 BAT 900即AB AT AB是 O的直径 AT是 O的切线 四 巩固练习 2 如图 AB是 O的直径 直线l1 l2是 O的切线 A B是切点 l1 l2有怎样的位置关系 证明你的结论 解 l1 l2 证明如下 直线l1 l2是 O的切线 l1 AB l2 AB l1 l2 证明 过O作OE AC 垂足为E O为 BAC平分线上一点 OD AB于D OE OD OE AC O与AC相切 3 已知 O为 BAC平分线上一点 OD AB于D 以O为圆心 OD为半径作 O 求证 O与AC相切 E 五 归纳小结 通过这堂课的学习你有什么收获 知道了哪些新知识 学到了哪些作辅助线的方法