选修4 4坐标系与参数方程 第一讲坐标系 一 平面直角坐标中的坐标伸缩变换 设点P x y 是平面直角坐标系中的任意一点 在变换 的作用下 点P x y 对应到点 则称为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换 简称伸缩变换 二 极坐标系的建立 在平面内取一个定点O 叫做极点 引一条射线OX 叫做极轴 再选定一个长度单位和角度单位及它的正方向 通常取逆时针方向 这样就建立了一个极坐标系 O 三 极坐标系内一点的极坐标的规定 对于平面上任意一点M 用 表示线段OM的长度 用 表示从OX到OM的角度 叫做点M的极径 叫做点M的极角 有序数对 就叫做M的极坐标 特别强调 表示线段OM的长度 即点M到极点O的距离 表示从OX到OM的角度 即以OX 极轴 为始边 OM为终边的角 1 负极径的定义 说明 一般情况下 极径都是正值 在某些必要情况下 极径也可以取负值 对于点M 为负极径时的规定 1 作射线OP 使 XOP 2 在OP的反向延长线上取一点M 使 OM 2 正 负极径时 点的确定过程比较 1 作射线OP 使 XOP 4 2 在OP的反向延长线上取一点M 使 OM 3 1 作射线OP 使 XOP 4 2 在OP的上取一点M 使 OM 3 画出点 3 4 和 3 4 给定 在极坐标系中描点的方法 先按极角找到极径所在的射线 后按极径的正负和数值在这条射线或其反向延长线上描点 3 负极径的实质 从比较来看 负极径比正极径多了一个操作 将射线OP 反向延长 而反向延长也可以看成是旋转 因此 所谓 负极径 实质是管方向的 这与数学中通常的习惯一致 用 负 表示 反向 负极径小结 极径变为负 极角增加 特别强调 一般情况下 若不作特别说明时 认为 0 因为负极径只在极少数情况用 四 极坐标系下点与它的极坐标的对应情况 1 给定 就可以在极坐标平面内确定唯一的一点M 2 给定平面上一点M 但却有无数个极坐标与之对应 原因在于 极角有无数个 注意 一般地 若 是一点的极坐标 则 2k 2k 1 都可以作为它的极坐标 如果限定 0 0 2 或 那么除极点外 平面内的点和极坐标就可以一一对应了 五 极坐标与直角坐标的互化关系式 设点M的直角坐标是 x y 极坐标是 1 极坐标转化为直角坐标公式 x cos y sin 2 极轴与直角坐标系的x轴的正半轴重合 3 两种坐标系的单位长度单位相同 注意 互化公式的三个前提条件 1 极点与直角坐标系的原点重合 六 特殊曲线的极坐标方程 第二讲参数方程 一 参数方程的概念一般地 在平面直角坐标系中 如果曲线上任意一点的坐标x y都是某个变数t的函数并且对于t的每一个允许值 由方程组 所确定的点M x y 在这曲线上 那么方程 就叫做这条曲线的参数方程 联系变数x y的变数t叫做参变数 简称参数 相对于参数方程而言 直接给出的坐标间关系的方程叫做普通方程 二 参数方程和普通方程的互化 1 曲线的参数方程和普通方程是曲线方程不同形式 一般可以通过消去参数而从参方程得到普通方程 2 如果知道变数x y中的一个与参数t的关系 例如x f t 把它代入普通方程 求出另一个变数与参数的关系y g t 那么就是曲线的参数方程 在参数方程与普通方程的互化中 必须使x y的取值范围保持一致 注 普通方程化为参数方程 参数方程的形式不一定唯一 应用参数方程解轨迹问题 关键在于适当地设参数 如果用的参数不同 那么所求得的曲线的参数方程的形式也不同 三 特殊曲线的参数方程 注 1 参数方程的特点是没有直接体现曲线上点的横 纵坐标之间的关系 而是分别体现了点的横 纵坐标与参数之间的关系 2 参数方程的应用往往是在x与y直接关系很难或不可能体现时 通过参数建立间接的联系 为参数 为参数 1 圆的参数方程 2 椭圆的参数方程 a b 为参数 为参数 为参数 其中 称为离心角 规定参数 的取值范围是 3 抛物线的参数方程 o y x H M x y 经过点 倾斜角为的直线l的普通方程是而过 倾斜角为的直线l的参数方程为 4 直线的参数方程 重点 直线参数方程中参数的几何意义 t表示直线l上以定点为起点 任一点为终点的有向线段的数量当点在上方时 t 0 当点在下方时 t 0 当点与重合时 t 0 我们也可以把参数t理解为以为原点 直线l向上的方向为正方向的数轴上的点的坐标 其单位长度与原直角坐标系中的单位长度相同 4 参数t的几何意义 选修4 4 P36例1 P37例2 2 在椭圆的参数方程中 常数a b分别是椭圆的长半轴长和短半轴长 a b 2 椭圆的参数方程 为参数 双曲线的参数方程 说明 这里参数叫做双曲线的离心角与直线OM的倾斜角不同