函数的对称性与周期性3.1函数的单调性知识回顾 1 一般地，设函数的定义域为，区间： 增函数：如果对于上的任意两个自变量的值，当时，都有，那么就称函数在区间上是增函数； 减函数：如果对于上的任意两个自变量的值，当时，都有，那么就称函数在区间上是减函数； 2单调性：如果函数在某个区间上是增函数或减函数，那么就说函数在这个区间上具有单调性，区间叫做的单调区间 3判断函数单调性的基本方法： 定义法：任取，判断的正负； 图象法：判断常见函数的单调性，包括一次函数、二次函数与反比例函数； 复合函数的单调性同增异减 3.2函数的奇偶性（一） 知识点睛 函数图象的对称性轴对称中心对称函数示意图奇偶性偶函数奇函数满足的关系式本质当取的自变量互为相反数时，函数值相等当取的自变量互为相反数时，函数值也互为相反数 3.3函数的对称性知识点睛 一般的轴对称： 函数的图象关于直线对称； 若函数满足，则的图象关于直线成轴对称 【练习1】（1）若函数满足：，则的图象的对称轴为_；（2）若函数满足：，则的图象的对称轴为_；（3）若函数满足：，则的图象的对称轴为_【解析】 ； 一般的中心对称： 函数的图象关于点对称 若函数满足，则的图象关于点成中心对称 【练习2】（1）若函数满足：，则的图象的对称中心为_；（2）若函数满足：，则的图象的对称中心为_；（3）若函数满足：，则的图象的对称中心为_【解析】 ； 3.4函数的周期性知识点睛 1对于函数，如果存在一个非零常数，使得当取定义域内的每一个值时，都有 ，那么函数就叫做周期函数非零常数叫做这个函数的一个周期2如果周期函数的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就叫做的最小正周期3代数形式 全T：若函数满足：，则函数是周期为的函数； 半T：若函数满足：，则函数是周期为的函数 其他：若函数满足：，则函数是周期为的函数【练习3】如果函数满足下面的关系式，写出它的周期：；【解析】 ； 3.5如何识别对称性和周期性注意区别如下四个关系式反映的函数性质：有对称轴；：有对称中心；：有周期；：有周期 3.6双对称知识点睛 1双对称性函数具有周期性 若函数的图象关于点，及点对称，则函数是周期为的函数证明： 若函数的图象关于直线及对称，则函数是周期为的周期函数证明： 若函数图象关于直线对称，且关于点对称，则函数是周期为 的周期函数证明： 2正弦、余弦函数的对称性及其结论 【结论】（1）对称中心到离他最近的一条对称轴的距离为四分之一各周期；（2）相邻两条对称轴之间的距离为半个周期；（3）相邻两对称中心之间的距离为半个周期。 1已知f（x）是定义在R上的偶函数，且f（x+2）f（x）对xR恒成立，当x0，1时，f（x）2x，则（ ）ABCD1解：f（x+2）f（x）对xR恒成立，f（x）的周期为2，（x）是定义在R上的偶函数，f（）f（），当x0，1时，f（x）2x，f（），故选：B2定义在R上的函数f（x）满足f（x+6）f（x），当3x1时，f（x）（x+2）2，当1x3时，f（x）x则f（1）+f（2）+f（3）+f（2012）（ ）A335B338C1678D2012解：f（x+6）f（x），f（x）是以6为周期的函数，又当1x3时，f（x）x，f（1）+f（2）1+23，f（1）1f（5），f（0）0f（6）；当3x1时，f（x）（x+2）2，f（3）f（3）（3+2）21，f（4）f（2）（2+2）20，f（1）+f（2）+f（3）+f（4）+f（5）+f（6）1+21+0+（1）+01，f（1）+f（2）+f（3）+f（2012）f（1）+f（2）+f（3）+f（2010）+f（2011）+f（2012）3351+f（1）+f（2）338故选：B3若定义在R上的偶函数f（x）满足f（x+2）f（x），且x0，1时，f（x）x，则方程f（x）log3|x|的解有（ ）A2个B3个C4个D多于4个解：由f（x+2）f（x）可得函数的周期为2，又函数为偶函数且当x0，1时，f（x）x，故可作出函数f（x）得图象方程f（x）log3|x|的解个数等价于f（x）与ylog3|x|图象的交点，由图象可得它们有4个交点，故方程f（x）log3|x|的解个数为4，故选：C 4已知函数f（x）是R上的奇函数，对于x（0，+）都有f（x+2）f（x），且x（0，1时，f（x）2x+1，则f（2012）+f（2013）的值为（ ）A1B2C3D4解：f（x+2）f（x），f（x+4）f（x），即函数的周期是4，f（2012）f（0），f（2013）f（1），f（x）是R上的奇函数，f（0）0，当x（0，1时，f（x）2x+1，f（1）2+13，f（2012）+f（2013）f（0）+f（1）3故选：C5设偶函数f（x）对任意xR，都有f（x+3），且当x3，2时，f（x）4x，则f（107.5）（ ）A10BC10D解：因为f（x+3），故有f（x+6）f（x）函数f（x）是以6为周期的函数f（107.5）f（617+5.5）f（5.5）故选：B6已知f（x）是定义域为（，+）的奇函数，满足f（1x）f（1+x），若f（1）2，则f（1）+f（2）+f（3）+f（50）（ ）A50B0C2D50解：f（x）是奇函数，且f（1x）f（1+x），f（1x）f（1+x）f（x1），f（0）0，则f（x+2）f（x），则f（x+4）f（x+2）f（x），即函数f（x）是周期为4的周期函数，f（1）2，f（2）f（0）0，f（3）f（12）f（1）f（1）2，f（4）f（0）0，则f（1）+f（2）+f（3）+f（4）2+02+00，则f（1）+f（2）+f（3）+f（50）12f（1）+f（2）+f（3）+f（4）+f（49）+f（50）f（1）+f（2）2+02，故选：C7（2017全国）函数f（x）的定义域（，+），若g（x）f（x+1）和h（x）f（x1）都是偶函数，则（ ）Af（x）是偶函数Bf（x）是奇函数Cf（2）f（4）Df（3）f（5）解：g（x）f（x+1）和h（x）f（x1）都是偶函数，g（x）g（x），h（x）h（x），得f（x+1）f（x+1），f（x1）f（x1），即f（x+2）f（x），f（x2）f（x），则f（x+2）f（x2），则f（x+2）f（x2），则f（x+4）f（x），则函数f（x）是周期为4的周期函数，又当x0时，f（0）f（2），f（2）f（0），f（0）f（4），f（2）f（4），故选：C8（2016新课标）已知函数f（x）（xR）满足f（x）f（2x），若函数y|x22x3|与yf（x）图象的交点为（x1，y1），（x2，y2），（xm，ym），则xi（ ）A0BmC2mD4m解：函数f（x）（xR）满足f（x）f（2x），故函数f（x）的图象关于直线x1对称，函数y|x22x3|的图象也关于直线x1对称，故函数y|x22x3|与 yf（x） 图象的交点也关于直线x1对称，故xi2m，故选：B9（2016新课标）已知函数f（x）（xR）满足f（x）2f（x），若函数y与yf（x）图象的交点为（x1，y1），（x2，y2），（xm，ym），则（xi+yi）（ ）A0BmC2mD4m解：函数f（x）（xR）满足f（x）2f（x），即为f（x）+f（x）2，可得f（x）关于点（0，1）对称，函数y，即y1的图象关于点（0，1）对称，即有（x1，y1）为交点，即有（x1，2y1）也为交点，（x2，y2）为交点，即有（x2，2y2）也为交点，则有（xi+yi）（x1+y1）+（x2+y2）+（xm+ym）（x1+y1）+（x1+2y1）+（x2+y2）+（x2+2y2）+（xm+ym）+（xm+2ym）m故选：B10（2016全国）定义域为R的偶函数f（x）为周期函数，其周期为8，当x4，0时，f（x）x+1，则f（25） 0 解：定义域为R的偶函数f（x）为周期函数，其周期为8，当x4，0时，f（x）x+1，f（25）f（83+1）f（1）f（1）1+10故答案为：011（2014新课标）偶函数yf（x）的图象关于直线x2对称，f（3）3，则f（1） 3 解：法1：因为偶函数yf（x）的图象关于直线x2对称，所以f（2+x）f（2x）f（x2），即f（x+4）f（x），则f（1）f（1+4）f（3）3，法2：因为函数yf（x）的图象关于直线x2对称，所以f（1）f（3）3，因为f（x）是偶函数，所以f（1）f（1）3，故答案为：312已知定义在R上的奇函数f（x），若函数f（x+1）为偶函数，且f（1）1，则f（i） 1 解：因为函数f（x+1）为偶函数，所以f（x+1）的对称轴为x0，所以f（x）的对称轴为x1，所以f（x+1）f（1x），又因为f（x）是R上的奇函数，所以f（x+1）f（1x）f（x1），所以f（x+2）f（x），f（x+4）f（x+2）f（x），所以f（x）的周期为4，且f（1）1，f（2）f（2）f（2），所以f（2）0，f（3）f（1）1，f（4）f（0）0，f（i）504f（1）+f（2）+f（3）+f（4）+f（1）+f（2）1，故答案为：113设函数f（x）是定义在R上的偶函数，且对任意的x，都有f（x）f（2x），当x0，1时，f（x）x，则f（21） 解：函数f（x）是定义在R上的偶函数，故函数的图象关于y轴对称，又由对任意的x，都有f（x）f（2x），故函数的图象关于x1对称，故函