2015年第3期福建中学数学23 一道解析几何题的深度剖析一道解析几何题的深度剖析 章利秋江苏省南京市第十四中学 210031 1 问题背景问题背景 在高三解题教学过程中 对于同一道题 从不 同的角度去分析研究 可能会得到不同的启示 从 而引出多种不同的解法 在教学中 不失时机地通 过引导学生进行 一题多解 训练 通过广泛地联想 使学生的思维触角伸向不同的方向 不同的层次 这样不仅能巩固复习所学知识 而且能较好地培养 学生思维的广阔性 圆锥曲线是高中数学的一个重要内容 也是每 年高考的一个重点 在近几年的高考及各地的模拟 考试中 出现了许多精彩的考题 由于研究双曲线 及抛物线的方法与椭圆有很多相似之处 再考虑到 江苏高考对椭圆的考试要求 B级 明显地高于双曲 线 A级 和抛物线 A级 故而对与椭圆相关试 题的命制成为各类考试的一个热点 作为数学教师 我们应当站在更高的层次上来 看待这些试题 通过对这些精彩试题研究 揭示它 们的解法和算理 提升学生的兴趣 发挥其最大的 教学功能 本文就对一道模考解析几何题的解法 算理分别进行展示和揭示 期待和同行们达成共鸣 2 题目展现 题目 题目展现 题目 已知椭圆 22 22 1 0 xy ab ab 的右焦点为 1 2 0 F 离心率为e 1 若 2 2 e 求椭圆的方程 2 设A B为椭圆上关于原点对称的两点 1 AF的中点为M 1 BF的中点为N 若原点O在以线 段MN为直径的圆上 证明 点A在定圆上 设直线AB的斜率为k 若3k 求e的取 值范围 说明说明 1 22 1 84 xy 2 点A在定圆 2 x 2 4y 上 证明过程从略 下面着重研究第 小问 在解析几何的代数运算中 培养学生运算能力 要从基础抓起 让学生明白准确 简捷的运算有时 往往依赖于对最基本的概念朴素而自然地理解 3 解法展示 解法 解法展示 解法 1 设 00 A xy 则根据题意可得如下方程 22 00 22 1 xy ab 1 22 00 4xy 2 00 ykx 3 22 4ab 4 2 e a 5 分别联立 1 3 和 2 3 得 22 2 0 2222 4 1 a b x a kbk 6 再联立 4 5 得 2 2 4 a e 7 2 2 2 4 1 e b e 8 再将 7 8 代入 6 得 42 2 2 21 21 ee k e 又3k 42 2 21 3 21 ee e 解得 2 31 2 e 解法解法 2 由解法 1 可知 2 2 4 a e 7 2 2 2 4 1 e b e 8 再代入 1 可得 2 20 0 22 4 1 y x ee 9 再联立 2 9 解得 2 0 2 2 1 e y e 又3k 222 00 yk x 又 22 00 4xy 0 3 2 y 2 2 2 1 32 e e 解得 2 31 2 e 解法解法 3 2222 0000 44 2 2 2 e a xyxy 0000 42 848422xxxx 00 2 22xx e 两边同时平方 得 2 0 2 2 42x e 24福建中学数学2015年第3期 又 22 00 4xy 2 0 2 2 1 e y e 后面的解法同上 解法解法 4 设 cossin A ab 由 22 00 4xy 2 22 4ab 4 得 22 4 1 sin a 22 4sinb 则 2 2 22 1 1 1 sin b e a 则 2 2 2 1 sin e e 22222 22 2222 sinsin 1 1 cos1 sin21 be ke ae 后面的过程同解法 1 解设解设 5 2cos2sin A 02 由 22 00 22 1 xy ab 1 得 222222 2 22 4 4 8 cos 16164 ababaa ba 又3k 32 则 1 cos 0 2 则 2 42 38a 又知 2 e a 5 则 2 31 2 e 4 算理揭示算理揭示 4 1 从方程的角度出发 增加解题必胜的信念从方程的角度出发 增加解题必胜的信念 方程思想是通过分析问题中的变量间的等量关 系 从而建立方程或方程组 或运用方程的性质去 分析 转化问题 使问题易于解决 其精髓是方程 组 的确定 根据本题所给的条件 我们不难得出如下的方 程 22 00 22 1 xy ab 1 22 00 4xy 2 00 ykx 3 22 4ab 4 2 e a 5 而这五个方程中涉及的变量有共有 6 个 0 x 0 y k a b e 并且条件中又给出了3k 那 么只需将k用e来表示 所以将它们之间的关联从间 接状态改为直接状态是最自然不过的想法了 具体 过程对应解法 1 我们的学生在应试中对解析几何 的运算存在较大的盲目性 在解题的过程中的目标 意识不够明确 究其原因 应该是在平时的训练中 缺乏对字母运算的 方程意识 鉴于此 我们在平时 的解析几何教学环节中 加强方程思想的渗透 势 必会增加解题必胜的信念 4 2 从函数的角度出发 提高解题转化的能力从函数的角度出发 提高解题转化的能力 函数思想是运用运动和变化的观点 集合与对 应的思想 去分析和研究数学问题中的数量关系 建立函数关系或构造函数 再利用函数的图像或性 质去分析问题 转化问题 从而使问题获得解决 其精髓是构造函数 根据前面的分析 我们较容易得到这样一条清 晰的解题流程 1S确立目标 求e的取值范围 2S 找出变因 点A在圆和椭圆上运动 3S选择变量 点A的坐标 4S消除差异 转化条件3k 5S建立模型 0 yf e 6S模型求解 详见 解法 2 当然 我们还可以建立e与其他变量之间 的函数关系 这里就不罗列了 实践证明 思维水平的提升将极大地推进学生 运算技能的提高 解题教学中适时揭开 技巧 的神秘 面纱 揭示其蕴含的思想方法 对于提高学生的解 题能力大有裨益 4 3 从表达的角度出发 丰富解题不同的方法从表达的角度出发 丰富解题不同的方法 解题过程的繁简程度是决定解题成败的重要因 素 同样的思路 不同的过程 解题效果会迥然不 同 到目前为止 我们已经捕获这样的关键信息 表达好点A 由于点A是椭圆 22 22 1 0 xy ab ab 与圆 22 4xy 的交点 那么 我们在表达点A的过 程中 就有了多种形式 从而产生了不同的策略 策略策略 1 设点 00 A xy 得方程 22 00 22 1 xy ab 22 00 4xy 00 ykx 消参量 42 2 2 21 21 ee k e 算范围 2 31 2 e 策略策略 2 设点 00 A xy 得方程 2222 0000 2 2 2xyxya 消参量 00 2 22 e xx 算范围 2 31 2 e 策略策略 3 设点 cossin A ab 得方程 22 00 4xy 22 4ab 消参量 42 2 2 21 21 ee k e 2015 年第 3 期福建中学数学25 算范围 2 31 2 e 策略策略 4 设 2cos2sin A 得方程 22 00 22 1 xy ab 22 4ab 消参量 2 cos 22 8 16 aa 算范围 2 31 2 e 4 4 从辩证的角度出发 审视解题活动的意义从辩证的角度出发 审视解题活动的意义 数学教学是以解题为中心展开的 解题教学也 是高三数学复习的重要环节 其功能是 培养学生 运用所学知识解决实际问题的能力 在此过程中提 高学生思维水平 培养独立分析问题 解决问题的 能力 解法 1 是命题组给的参考答案 解法 2 是在解 法 1 的基础上 把条件3k 做了适当地转化 即 0 3 2 y 解法 3 4 都是利用点A在椭圆上的定 义和参量表达形式进行研究 解法 5 是选择了点A在 圆上的参量表达形式进行运算 而这 5 种不同的解 法也全部来自于学生们的自主构建 而作为教师 首先要给他们提供一个自我展示的平台 其次还要 引领他们对题目进行追根朔源 归纳出不同解法的 共性所在 最后还要组织学生对不同的解法进行优 劣判断 而在解法的选择上务必要倡导其通性通法 可见 不同的视角 产生不同的解题思路 通 过集中展示 更有利于学生感悟解决问题的通性通 法 有效提高举一反三 触类旁通的能力 在此过 程中 学生容易感受到 解题教学不要图多求难 重视引导学生多角度审视 全方位探究 复习才能 收到实效 例谈高中生函数与方程思想的培养例谈高中生函数与方程思想的培养 周丽津福建省漳州市云霄县元光中学 363300 普通高中数学课程标准 实验 对数学课 程目标提出了三个层面的要求 在知识教育层面 强调学生在获得必要的基础知识 基本技能的同时 要了解它们的来龙去脉 体会其中所蕴涵的数学思 想和方法 即知识 思想和能力是数学教学的三大 要素 数学内容是可用文字和符号来记录和描述的 而数学思想则是数学意识 重在领会 运用 属于 思维的范畴 用以对数学问题的认识 处理和解 决 虽说数学思想是蕴涵在教材显性知识中的隐性 知识 却是打开数学宝库的 金钥匙 所以说数学思 想是数学的高级统帅 是数学教学的精髓和灵魂 函 数与方程思想是高中重要的基本数学思想 教学中 怎样渗透 介绍和突出函数与方程思想 进而让学 生领悟和应用函数与方程思想呢 1 新授课中培养的示例新授课中培养的示例 数学家哈尔莫斯说过 问题是数学的心脏 方法 是数学的行为 思想是数学的灵魂 教材将数学思 想蕴涵在每个章节之中 如概念的形成 公式 定 理 法则的推导 例题 习题等均有渗透 备课时 要主动挖掘承载数学思想的知识载体 在教学设计 时将知识问题化 问题层次化 组织探究活动 让 学生在亲身经历探索思考的过程中获得对数学思想 的体验和领悟 如教 指数函数的图象与性质 时设计 问题让学生从概念形成及性质归纳中体验和领悟变 化与对应的函数思想 在讲解本节例题中比较 1 2 5 1 7与 3 1 7 2 0 1 0 8 与 0 2 0 8 大小时 引导学生通 过分别构造函数1 7xy 和1 8xy 再利用指数函数 的单调性比较大小 让学生体验和领悟应用函数思 想解题的思维策略 2 在习题或试卷讲评中培养的示例在习题或试卷讲评中培养的示例 本文以习题讲评课为例 在教函数零点时利用 教材必修 1 的 3 1 1 练习 2 利用信息技术作出函数 1 e44 x yx 的图象 并指出函数零点所在的大致 区间 在师生合作完成解答后 笔者提出问题 若 不利用信息技术 能否指出函数零点所在的大致区 间呢 笔者让学生先自主思考 教师巡视指导 再利 用小组合作学习完成 6 分钟后有小组推荐代表回 答 可以 因为求函数的零点即求 0f x 的解 也 即 1 4e4 x x 的解 若令 1 e x g x 44h xx