2015 年第 5 期福建中学数学47 证明证明 设 1 e3ln3 x f xx x 3 exfx x 2 1 x 而 1 e40 f 2 7 2 e0 4 f 所以 fx 的零点在区间 1 2 上 因此 f x在 0 1 单调递减 在 2 单调递增 只需证明 0f x 在区间 1 2 上成立即可 设 2222 e3ln3 x g xx f xxxxxx 2 2 e6 ln91 x g xxxxxx 2 4gxxx 2 e6ln15 x x 2 6gxxx 6 6 ex x 当 1x 2 时 1 13e60gxg 从而 1 7egxg 150 1 3e80 1 e2g xgg xg 0 因此 2 g xx f x 0 在区间 1 2 上成立 即 0f x 在区间 1 2 上成立 故 1 e3ln30 x x x 成立 即 1 e3ln x x x 3 成立 例 4 中用到的方法与例 3 相似 却是在 f x上 乘以 2 x 是因为 xf x的极值点还在区间 1 2 上 没有被移出 因此 笔者总结这种方法 极值移出 法 的解题技巧 估算极值点 尽可能缩小极值 点所在区间 在 f x上乘以一个增长性很快的恒 正函数 较大幅度地影响极值点 从而将极值点移 出区间 放缩法证明函数不等式 往往出现在导数应用 问题中的最后一问 本文对这类不等式的证明探索 了三种方法 如果能熟练掌握 这类问题一般都能 迎刃而解 几何画板环境下过程性变式教学的研究几何画板环境下过程性变式教学的研究 姜明胡继凤 江苏省苏州市吴江区南麻中学 215226 变式教学是指通过不同的角度 不同的侧面 不同的层次 不同的背景 从多个方面变更数学研 究对象或问题的呈现形式 使研究对象的非本质特 征发生变化而本质特征保持不变的教学形式 顾泠 沅教授把数学变式分为概念性变式和过程性变 式 所谓过程性变式是指在数学活动过程中 通过 对数学活动过程的辨析或分割 在前后知识之间进 行适当的变式铺垫 这样层层推进 使学生分步解 决问题 积累多种活动经验 几何画板是研究几何 的有力工具 利用几何画板可以去发现 探索 表 现 总结几何规律 利用几何画板进行过程性变式 教学 能促进学生有意义的学习 帮助学生构建良 好的认知结构 1 变式的类型变式的类型 利用过程性变式可以对一个初始问题进行变 式 通过条件和结论两个途径进行变式 分别得到 条件变式问题和结论变式问题 其中条件变式的基 本方式有三种 变更条件 改变元素和整合关联 结论变式的基本方式也有三种 更换问题 增加深 度和变换形式 这些变式类型可以用一个简图来表 示 如图 1 图 1 变更条件 改变元素 整合关联 变换形式 增加深度 更换问题 题 目 条 件 题 目 结 论 条 件 变 式 结 论 变 式 初 始 问 题 变 式 问 题 2 变式的方式 初始问题 变式的方式 初始问题 如图 2 点E F G H 分别是 四边形ABCD各边的中点 试判断四边形EFGH的 形状并说明理由 解析解析 这个问题是探究四边形中点四边形的形 状 很容易猜想是平行四边形 理由为 连接BD 易 证EH为ABD 的 中 位 线 所 以 EHBD且 2EHBD 同理可知 FGBD且 2FGBD 从 而有 EHFG且EHFG 猜想得证 这个问题解 决的关键是得到EH和FG分别是两个三角形的中 位线 都与BD有一定的数量和位置关系 48福建中学数学2015年第5期 D CF H G 图 2 B A E D CF H G 图 3 B A E 图 4 B C D A F H E O G 2 1 变更条件变更条件 变更条件是指通过添加或去除 替换等方式改 变初始问题的某些条件 而探索原结论或相关结论 的变化情况的方式 例如在初始问题中线段AC和 BD没有特殊的关系 如果增加条件 改变它们的关 系 如相等 垂直等 则四边形EFGH的形状会发 生相应的变化 在几何画板中 通过度量知图 2 中AC和BD的 长度 并通过移动点A 使得ACBD 从而得到 变式 1 变式变式 如图 3 点E F G H分别是四边形 ABCD各边的中点 若ACBD 试判断四边形 EFGH的形状并说明理由 解析解析 由EH HG分别为ABD 和ACD 的中位 线知 1 2 EHBD 1 2 HGAC 又因为ACBD 从 而有EHHG 根据初始问题知四边形EFGH为平 行四边形 所以四边形EFGH是菱形 再在几何画 板中 通过度量知图 2 中AC和BD的夹角的度数 通过移动点A 使得ACBD 从而得到变式 2 变式变式 2 如图 4 点E F G H分别是四边 形ABCD各边的中点 若ACBD 垂足为O 试 判断四边形EFGH的形状并说明理由 解析解析 由EH HG分别为ABD 和ACD 的中位 线知 EHBD EFAC 又因为ACBD 所以 90HEF 根据初始问题知四边形EFGH为平行 四边形 所以四边形EFGH是矩形 点评点评 变式1和变式2都是通过改变AC和BD的 位置关系或数量关系等条件得到的变式 使学生在 探究的过程中逐渐领悟到中点四边形EFGH的形状 取决于原四边形ABCD的对角线的位置与数量关系 2 2 改变元素改变元素 改变元素是指改变初始问题中的定点 动点等 元素的位置 改变线段 角等元素的长短 大小 探索原结论或相关结论的变化情况的方式 例如在 初始问题中AH与AD的比为1 2 在几何画板中 通过移动点H的位置 将AH与AD的比变为1 3 同样对其他三个点进行移动 使得其他几组线段的 比也作相应变化 就得到了变式 3 变式变式 3 如图 5 在四边形ABCD中 AH AE ADAB 1 3 CFCG BCCD 试判断四边形EFGH的形状并说明理 由 解析解析 连接BD 1 3 AHAE ADAB EHBD 1 3 EH BD 同理可得 FGBD 1 3 FG BD EHFG EHFG 所以四边形EFGH是平行四边形 点评点评 变式 3 是通过改变了四个点的位置 从而 改变了四组线段的比得到的变式 使学生逐渐理解 了即使改变了比值 只要四组线段的比保持相等 四边形EFGH依然是平行四边形 使学生领悟到这 类问题都是转化为寻找EH FG与BD的关系 BD 是EH和FG关系的桥梁 D CF H G 图 5 B A E 图 6 F C B E O H G A 1 A 1 B 1 C 1 D A BC D 图 7 2 3 整合关联整合关联 整合关联是指在变更条件或在改变元素的基础 上 把条件之间的关系或结构进行改造 探索原结 论或相关结论的变化情况的方式 例如前面变式 2 和变式 3 就是分别进行变更条件和改变元素 在几 何画板中可以尝试对这两个变式进行整合 就得到 了变式 4 变式变式 4 如图 6 在四边形ABCD中 ACBD 垂足为O 点E F G H分别在四边形ABCD四 条边的延长线上 1 3 AHAECFCG ADABBCCD 试判断 四边形EFGH的形状并说明理由 解析解析 由 1 3 AHAE ADAB 易证 HEBD 1 3 HE BD 同理可得 GFBD 1 3 GF BD HEGF HEGF 所以四边形EFGH是平行四边形 由 AH AD CG CD 得 ACHG 又ACBD HEBD EHG 90 所以四边形EFGH是矩形 点评点评 变式 4 是整合了变式 2 和变式 3 并进一 步加以变形 既要求学生通过变式 2 知道如何证明 90EHG 又要求学生通过变式 3 知道如何证明 四边形EFGH是平行四边形 为学生积累了学习经 验 培养了学生思维的灵活性 2015 年第 5 期福建中学数学49 2 4 更换问题更换问题 更换问题是指在初始问题条件不变或略为改变 的基础上 探索蕴涵新结论情况 即在背景大致相 同下 从考查一个问题转向考查另一个问题 例如 初始问题考查的是探索中点四边形的形状 在几何 画板中还可以考查中点四边形的面积与原四边形的 面积的关系 从而就得到了变式 5 变式变式 5 如图 2 点E F G H分别是四边 形ABCD各边的中点 若四边形ABCD的面积为S 试用S表示四边形EFGH的面积 并说明理由 解析解析 连接BD 易证EH为ABD 的中位线 所以 EHBD 2EHBD 从而有AEHABD 1 4 AEHABD SS 同理 1 4 CFGCBD SS 111 444 AEHCFGABDCBD SSSSS 同理 1 4 BEFDHG SSS 2 EHGF SS 四边形 点评点评 前面几个变式都是考查四边形EFGH的 形状 而变式 5 是考查四边形EFGH的面积 变换 一种探究的方向 使学生对中点四边形的性质有更 全面的认识 培养了学生思维的灵活性 2 5 增加深度增加深度 增加深度是指在不改变或略微改变原有条件下 对初始问题进行探究时体现思路的层次性或思维的 渐进性 逐渐深入探究问题的结论 例如将上述变 式 5 中的图 2 在几何画板中进一步作图得到图 7 则 可以探索各个中点四边形的面积与原四边形的面积 的关系 从而得到变式 6 变式变式 6 如图 7 四边形 1111 ABC D是由四边形 ABCD各边的中点构成的四边形 四边形 2222 A B C D 由四边形 1111 ABC D各边的中点构成的四边形 四边形 3333 A B C D是由四边形 2222 A B C D各边的中点构成的四 边形 如此进行下去得到四边形 nnnn A B C D 若四边形ABCD的面积为S 试用S表示四边形 nnnn A B C D的面积 并说明理由 解析解析 由变式 5 知 1111 1 2 A B C D SS 四 边 形 同理得 22221111 11 24 A B C DA B C D SSS 四边形四边形 33332222 11 28 A B C DA B C D SSS 四 边 形四 边 形 所以有 1 2 nnnn A B C Dn SS 四边形 点评点评 变式 6 是在变式 5 的基础上进一步加深 增加了解答的难度 通过探究让学生知道无论哪一 层的中点四边形 它们的面积都与原四边形的面积 有关 提高了学生对中点四边形的认识 培养了学 生思维的深刻性 2 6 变换形式变换形式 变换形式是指将初始问题或相关问题进行改头 换面 以新的形式呈现出来 看似与初始问题无关 但都可以转化为初始问题来解决 AB C D E F M N 图 8 AB C D E F M N 图 9 H G 变式变式 7 如图 8 四边形ABCD中 点E F分 别是AB CD的中点 EF分别交对角线AC BD于 点M N 且 CMFBNE 求证 ACBD 解析解析 本题看似与中点四边形无关 但是联想到 点E F分别是AB CD的中点 且AC与BD是对 角线 四边形的对角线与中点四边形有关 因此想 到作出中点四边形 解法为 如图 9 取AD和BC的 中点H和G 作中点四边形HEGF 易证四边形 HEGF是平行四边形 EGAC CMFGEF 同理可得 BNEGFE 又因为 CMFBNE 所 以有 GEFGFE 从而得FGEG 根据四边形 HEGF是中点四边形易证2ACEG 2BDFG 所以有ACBD 点评点评 解答这样的问题就要求学生对中点四边 形的性质比较熟悉 把不熟悉的问题转化为熟悉的 问题 要求学生在平时的学习中要积累一些常见基 本图形 积累一些学习经验 综上所述 通过对问题的多层次的变式构造 使学生对问题解决过程及问题本身的结构有一个清 晰的认识 形成良好的知识结构 是学生积累活动 经验 提高问题解决能力的一条有效途径 参考文献参考文献 1 鲍建生 黄荣金 易凌峰 顾泠沅 变式教学研究 J 数学教学 2003 2 13 14 2 潘超 变有限意无限 J 中学数学教学参考 2012 11 中旬 47 50