1 20182018 年秋四川省叙州区第一中学高三期末考试年秋四川省叙州区第一中学高三期末考试 数学 理 试题数学 理 试题 本试卷分第 I 卷 选择题 和第 II 卷 非选择题 两部分 共 4 页 全卷满分 150 分 考 试时间 120 分钟 考生作答时 须将答案答在答题卡上 在本试题卷 草稿纸上答题无效 考 试结束后 将答题卡交回 第第 卷 选择题 卷 选择题 共共 6060 分 分 一 选择题 本大题共 12 小题 每小题 5 分 共 60 分 在每小题给出的四个选项中 只有 一个是符合题目要求的 1 已知全集 则 RU 20 xxA 1 xxB BCA U U A B C D 1 0 0 1 2 2 若复数 则的共轭复数是 1 2 iiz z A B C D i 1i 1i 1i 1 3 展开式中的常数项为 4 2 x x A 6 B 8 C 12 D 24 4 已知实数满足 则的最小值是 x y 24 24 0 xy xy y 32zxy A 4 B 5 C 6 D 7 5 执行如图所示的程序框图 若输入 则输出的取值范围是 1 3t s A B C D 2 1 e 1 e 01 2 ee 6 甲 乙 丙三人各买了一辆不同品牌的新汽车 汽车的品牌为奇瑞 传祺 吉利 甲 乙 丙让丁猜他们三人各买的什么品牌的车 丁说 甲买的是奇瑞 乙买的不是奇瑞 丙买的 不是吉利 若丁的猜测只对了一个 则甲 乙所买汽车的品牌分别是 A 吉利 奇瑞 B 吉利 传祺 C 奇瑞 吉利 D 奇瑞 传祺 7 在长方体中 则异面直线与所成角 1111 ABCDABC D 1ABBC 1 3AA 1 AD 1 DB 的余弦值为 A B C D 1 5 5 6 5 5 2 2 2 8 若在是减函数 则的最大值是 cossinf xxx a a a A B C D 4 2 3 4 9 已知 则a b c的大小关系为 2 log e aln2b 1 2 1 log 3 c A B C D abc bac cba cab 10 过双曲线的左焦点作圆的切线 此切线与的 2 2 1 3 y M x F 22 1 3 2 C xy M 左支 右支分别交于 两点 则线段的中点到轴的距离为 ABABx A 2 B 3 C 4 D 5 11 将函数的图象向左平移个单位长度后得到sin23cos2yxx 0 2 f x 的图象 若在上单调递减 则的取值范围为 f x 4 2 A B C D 3 2 6 2 5 3 12 5 6 12 12 已知函数满足 若函数与图 f x x R 4 4 2 xfxf 3 22 x x y yf x 像的交点为则 1122 mm x yxyxy 1 m ii i xy A B C D m3m5m6m10 卷 非选择题 满分 90 分 注意事项 1 请用蓝黑钢笔或圆珠笔在第 卷答题卡上作答 不能答在此试卷上 2 试卷中横线及框内注有 的地方 是需要你在第 卷答题卡上作答 本卷包括必考题和选考题两部分 本卷包括必考题和选考题两部分 第第 1313 题至第题至第 2121 题为必考题 每个试题考生都作答 题为必考题 每个试题考生都作答 第第 2222 2323 题为选考题 考生根据要求作答 题为选考题 考生根据要求作答 二 填空题 二 填空题 本大题共本大题共 4 4 个小题 个小题 每小题每小题 5 5 分 分 共共 2020 分 分 13 已知向量 若 则 4 2 a 1 bx ab ab 14 已知在中 则的面积为 ABC 3 1coscosabbCcB 且ABC 15 已知离散型随机变量服从正态分布 且 则 21 N 3 0 968P 13 P 3 16 已知球是棱长为2的正八面体 八个面都是全等的等边三角形 的内切球 为球OMNO 的一条直径 点为正八面体表面上的一个动点 则的取值范围是 PPM PN 三 解答题三 解答题 共共 7070 分分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 17 本小题满分 12 分 已知某单位甲 乙 丙三个部门的员工人数分别为 24 16 16 现采用分层抽样的方 法从中抽取 7 人 进行睡眠时间的调查 I 应从甲 乙 丙三个部门的员工中分别抽取多少人 II 若抽出的 7 人中有 4 人睡眠不足 3 人睡眠充足 现从这 7 人中随机抽取 3 人做进一 步的身体检查 i 用X表示抽取的 3 人中睡眠不足的员工人数 求随机变量X的分布列与数学期望 ii 设A为事件 抽取的 3 人中 既有睡眠充足的员工 也有睡眠不足的员工 求事件A 发生的概率 18 本大题满分 12 分 如图 在中 角 所对的边分别为 它的ABC ABCabcsin2sin AAB 面积 2 5 7 16 Sc 求的值 sinB 若是边上的一点 求的值 DBC 3 cos 4 ADB BD DC 4 19 本小题满分 12 分 如图 四棱锥中 底面为直角梯形 平面PABCD ABCD AD BC90ADC 底面 PAD ABCDPAPD 2ADBC 判断平面与平面是否垂直 并给出证明 PBCPCD 若 求二面角的余弦值 2PA 1BC 3CD APBC 20 本小题满分 12 分 椭圆的左 右焦点分别为 轴 直线交 22 22 1 xy E ab 0 ab 12 FF 2 MFx 1 MFy 轴于点 为椭圆上的动点 的面积的最大值为 1 H 2 4 OH QE 12 FF Q 求椭圆的方程 E 过点作两条直线与椭圆分别交于 且使轴 如图 4 0 SEABCD ADx 问四边形的两条对角线的交点是否为定点 若是 求出定点的坐标 若不是 请说ABCD 明理由 21 本小题满分 12 分 已知函数 ln 1 ln 1f xxx 5 讨论函数的单调性 0F xf xax a 若对恒成立 求的取值范围 3 3 f xk xx 0 1x k 请考生在请考生在 2222 2323 题中任选一题作答题中任选一题作答 如果多做如果多做 则按所做的第一题计分则按所做的第一题计分 做答时请写清题号做答时请写清题号 22 本小题满分 10 分 选修选修 4 4 4 4 坐标系与参数方程 坐标系与参数方程 在直角坐标系中 圆的方程为 xOyC 22 6 25xy 以坐标原点为极点 轴正半轴为极轴建立极坐标系 求的极坐标方程 xC 直线 的参数方程是 为参数 与交于两点 l cos sin xt yt tlC A B 10AB 求 的斜率 l 23 选修 4 5 不等式选讲 10 分 设函数 5 2 f xxax 1 当时 求不等式的解集 1a 0f x 2 若 求的取值范围 1f x a 6 2018 年秋四川省叙州区第一中学高三期末考试 数学 理 试题答案 一 选择题 一 选择题 每小题每小题 5 5 分 分 共共 1212 题 题 共共 6060 分 分 1 D 2 C 3 D 4 C 5 C 6 A 7 C 8 A 9 A 10 B 11 D 12 B 二 填空题二 填空题 13 14 15 16 5 4 3 0 936 4 0 3 17 解 由已知 甲 乙 丙三个部门的员工人数之比为 3 2 2 由于采用分层抽 样的方法从中抽取 7 人 因此应从甲 乙 丙三个部门的员工中分别抽取 3 人 2 人 2 人 i 解 随机变量X的所有可能取值为 0 1 2 3 P X k k 0 1 3 43 3 7 CC C kk 2 3 所以 随机变量X的分布列为 X 0 1 2 3 P 1 35 12 35 18 35 4 35 随机变量X的数学期望 11218412 0123 353535357 E X ii 解 设事件B为 抽取的 3 人中 睡眠充足的员工有 1 人 睡眠不足的员工有 2 人 事件C为 抽取的 3 人中 睡眠充足的员工有 2 人 睡眠不足的员工有 1 人 则A B C 且B与C互 斥 由 i 知 P B P X 2 P C P X 1 故P A P B C P X 2 P X 1 所以 事件A发生的概率为 6 7 6 7 18 解 因为 sin2sin AAB 所以 sin2sinAC 由正弦定理得 2ac 因为 22 15 7 sinsin 216 SacBcBc 所以 5 7 sin 16 B 因为 所以 3 cos 4 ADB 7 tan 3 ADB 7 在中 由正弦定理得 所以 ABD sinsin ADAB BADB 5 4 ADc 由余弦定理得 所以或 222 553 2 444 c ccBDBD 3 2 BDc 3 8 c 因为是边上的一点 所以 因为 所以 所以 DBC 3 2 BDc 2ac 1 2 CDc 3 BD DC 19 解 平面与平面不垂直 证明如下 PBCPCD 假设平面平面 PBC PCD 过点作于 BPCBQ Q 平面平面 平面平面 PBC PCD PBCPCPCD 平面 BQPCD CDBQ 在直角梯形中 由 知 ABCD90ADC AD BCCDBC 又 BBCBQ 平面 故 CDPBCCDPC 平面底面 平面底面 PAD ABCDPAD ABCDAD ADCD 平面 CD PADCD PD 在中 不可能有两个直角 所以假设不成立 PCD 设的中点为 连接 ADOPOOB PAPD ADPO 平面底面 平面底面 PAD ABCDPAD ABCDAD 底面 PO ABCD 在直角梯形中 ABCD90ADC 2ADBC OBAD 以 所在直线分别为 轴建立如图所示空间直角坐标系 OAOBOPxyzOxyz 2PA 1BC 3CD 1 0 0 A 0 3 0 B 1 3 0 C 0 0 3 P 1 0 3 AP 1 3 0 AB 0 3 3 BP 1 0 0 BC 8 设平面的法向量为 PAB 1 nx y z 由 取 1 1 30 30 nAPxz nABxy 1 3 1 1 n 同理可得平面的法向量 PBC 2 0 1 1 n 12 12 12 210 cos 5 52 nn n n nn 由图形可知 所求二面角为钝角 二面角的余弦值 APBC 10 5 20 解 设 由题意可得 即 0 F c 22 22 1 cy ab 2 M b y a 是的中位线 且 OH 12 FF M 2 4 OH 即 整理得 2 2 2 MF 2 2 2 b a 24 2ab 又由题知 当在椭圆的上顶点时 的面积最大 QE 12 FF M 整理得 即 1 21 2 c b 1bc 222 1b ab 联立 可得 变形得 解得 进而 64 21bb 242 1 21 0bbb 2 1b 2 2a 椭圆的方程式为 E 2 2 1 2 x y 设 则由对称性可知 11 A x y 22 B xy 11 D xy 21 B xy 设直线与轴交于点 直线的方程为 ACx 0 tAC 0 xmyt m 联立 消去 得 2 2 1 2 xmyt x y x 222 2 220mymtyt 12 2 2 2 mt yy m 2 12 2 2 2 t y y m 9 由三点共线 即 ABS ASBS kk 12 12 44 yy xx 将 代入整理得 11 xmyt 22 xmyt 1221 4 0y mytty myt 即 从而 化简得 1212 2 4 0my ytyy 2 2 2 2 2 4 0 2 m tmt t m 解得 于是直线的方程为 故直线过定点2 42 0mt 1 2 t AC 1 2 xmy AC 同理可得过定点 1 0 2 BD 1 0 2 直线与的交点是定点 定点坐标为 ACBD 1 0 2 21 解 1 11 11 Fxa xx 2 2 2 11 1 axa x x 当时 在上单调递增 20a 0Fx F x 1 1 当时 故当或时 在上单调递增 0a 0Fx 20a 0a F x 1 1 当时 令 得或 2a 0Fx 2 1 a x a 2 1 a x a 令 得 0Fx