新课标人教版课件系列 高中数学 选修1 1 2 3 2 抛物线的简单几何性质 教学目标 v知识与技能目标 v使学生理解并掌握抛物线的几何性质 并能从抛物线的标准 方程出发 推导这些性质 v从抛物线的标准方程出发 推导抛物线的性质 从而培养学 生分析 归纳 推理等能力 v过程与方法目标 v复习与引入过程 v1 抛物线的定义是什么 v请一同学回答 应为 平面内与一个定点F和一条定直线l的 距离相等的点的轨迹叫做抛物线 v2 抛物线的标准方程是什么 v再请一同学回答 应为 抛物线的标准方程是y2 2px p 0 y2 2px p 0 x2 2py p 0 和x2 2py p 0 v下面我们类比椭圆 双曲线的几何性质 从抛物线的标准方 程y2 2px p 0 出发来研究它的几何性质 板书 抛物线 的几何性质 y xo 复习 结合抛物线y2 2px p 0 的标准方程和图形 探索 其的几何性质 1 范围 2 对称性 3 顶点 类比探索 x 0 y R 关于x轴对称 对称轴 又叫抛物线的轴 抛物线和它的轴的交点 X Y 4 离心率 5 焦半径 6 通径 始终为常数1 通过焦点且垂直对称轴的直线 与抛物线相 交于两点 连接这两点的线段叫做抛物线的 通径 PF x0 p 2 x O y F P 通径的长度 2P 思考 通径是抛物线的焦点弦中最短的弦吗 利用抛物线的顶点 通径的两个端点可较准确画出 反映抛物线基本特征的草图 特点 1 抛物线只位于半个坐标平面内 虽然它可以无 限延伸 但它没有渐近线 2 抛物线只有一条对称轴 没有对称中心 3 抛物线只有一个顶点 一个焦点 一条准线 4 抛物线的离心率是确定的 为1 5 抛物线标准方程中的p对抛物线开口的影响 P越大 开口越开阔 图图 形方程焦点 准线线 范围围 顶顶点对对称 轴轴 e l F y x O l F y x O l F y x O l F y x O y2 2px p 0 y2 2px p 0 x2 2py p 0 x2 2py p 0 x 0 y R x 0 y R y 0 x R y 0 x R 0 0 x轴 y轴 1 变式 顶点在坐标原点 对称轴是坐标轴 并且过点 M 2 的抛物线有几条 求它的标准方程 典型例题 例1 已知抛物线关于x轴对称 顶点在坐标 原点 并且过点M 2 求它的标准方程 当焦点在x y 轴上 开口方向不定时 设为y2 2mx m 0 x2 2my m 0 可避免讨论 x y OF A BB A 例2 斜率为1的直线L经过抛物线 的焦点F 且与抛物线相交于A B两点 求线段AB的长 y2 4x 解法一 由已知得抛物线的焦点 为F 1 0 所以直线AB的方程为 y x 1 x y OF A BB A 例2 斜率为1的直线L经过抛物线 的焦点F 且与抛物线相交于A B两点 求线段AB的长 y2 4x 解法二 由题意可知 分析 运用分析 运用 抛物线的定抛物线的定 义和平面几义和平面几 何知识来证何知识来证 比较简捷 比较简捷 变式 过抛物线y2 2px的焦点F任作一条直线m 交这抛物线于A B两点 求证 以AB为直径的圆 和这抛物线的准线相切 证明 如图 所以EH是以AB为直径的 圆E的半径 且EH l 因 而圆E和准线l相切 设AB的中点为E 过A E B分别向准线l引垂 线AD EH BC 垂足为D H C 则 AF AD BF BC AB AF BF AD BC 2 EH 练习 1 已知抛物线的顶点在原点 对称轴为x轴 焦点在直线3x 4y 12 0上 那么抛物线通径 长是 2 过抛物线 的焦点 作倾斜角为 的直线 则被抛物线截得的弦长为 3 垂直于x轴的直线交抛物线y2 4x于A B 且 AB 4 求直线AB的方程 y2 8x X 3 例3 过抛物线焦点F的直线交抛物线于A B两点 通过点A和抛物线顶点的直线交抛物线的准线于 点D 求证 直线DB平行于抛物线的对称轴 x O y F A B D 例3 过抛物线焦点F的直线交抛物线于A B两点 通过点A和抛物线顶点的 直线交抛物线的准线于点D 求证 直线DB平行于抛物线的对称轴 x y OF A BD 小结 1 掌握抛物线的几何性质 范围 对称性 顶点 离心率 通径 2 会利用抛物线的几何性质求抛物线的标准方程 焦点坐标及解决其它问题 图图形标标准方程范围围对对称性顶顶点离心率 关于x 轴 对称 无 对称中心 关于x 轴 对称 无 对称中心 关于y 轴 对称 无 对称中心 关于y 轴 对称 无 对称中心 e 1 e 1 e 1 e 1 分析 直线与抛物 线有一个公共点 的情况有两种情 形 一种是直线 平行于抛物线的 对称轴 另一种是直线与 抛物线相切 判断直线与抛物线位置关系的操作程序 把直线方程代入抛物线方程 得到一元一次方程得到一元二次方程 直线与抛物线的 对称轴平行 相交 一个交点 计 算 判 别 式 0 00 分析 直线与抛物线没有公 共点时 0 注 在方程中 二次项系数含有k 所以要对k进行讨论 作图要点 画出直线与抛物线只有一个公共点时的情 形 观察直线绕点P转动的情形 变式一 已知抛物线方程y2 4x 当b为何值时 直线 l y x b与抛物线 1 只有一个公共点 2 两个公共 点 3 没有公共点 当直线与抛物线有公共点时 b的 最大值是多少 分析 本题与例1类型相似 方法一样 通过 联立方程组求得 1 b 1 2 b1 当直线与抛物线有公共点时 b的 最大值当直线与抛物线相切时取得 其值 为1 变式二 已知实数x y满足方程y2 4x 求函数 的最值 变式三 点 x y 在抛物线y2 4x上运动 求函数z x y 的最值 本题转化为过定点 2 1 的直线与抛物线有公共点时 斜率的最值问题 本题转化为直线y x z与抛物线有公共点时z的最值 问题 无最大值 x y B A F O 解 因为直线AB过定点F且不与x轴平 行 设直线AB的方程为 x y B A F O x y B A F O x y B A F O 单击此处编辑母版标题样式 单击此处编辑母版副标题样式 34 此课件下载可自行编辑修改 供参考 感谢您的支持 我们努力做得更好