习 题 一 1写出下列随机试验的样本空间及下列事件中的样本点： （1）掷一颗骰子，记录出现的点数. 出现奇数点； （2）将一颗骰子掷两次，记录出现点数. 两次点数之和为10，第一次的点数，比第二次的点数大2； （3）一个口袋中有5只外形完全相同的球，编号分别为1,2,3,4,5；从中同时取出3只球，观察其结果，球的最小号码为1； （4）将两个球，随机地放入到甲、乙、丙三个盒子中去，观察放球情况，甲盒中至少有一球； （5）记录在一段时间内，通过某桥的汽车流量，通过汽车不足5台，通过的汽车不少于3台。 解 （1）其中出现点， 。 （2） ； ； 。 （3） （4） ，其中表示空盒； 。 （5）。 2设是随机试验的三个事件，试用表示下列事件： （1）仅发生； （2）中至少有两个发生； （3）中不多于两个发生； （4）中恰有两个发生； （5）中至多有一个发生。 解 （1） （2）或； （3）或； （4）； （5）或； 3一个工人生产了三件产品，以表示第件产品是正品，试用表示下列事件：（1）没有一件产品是次品；（2）至少有一件产品是次品；（3）恰有一件产品是次品；（4）至少有两件产品不是次品。 解 （1）；（2）；（3）；（4）。 4在电话号码中任取一个电话号码，求后面四个数字全不相同的概率。 解 设任取一电话号码后四个数字全不相同，则 5一批晶体管共40只，其中3只是坏的，今从中任取5只，求 （1）5只全是好的的概率； （2）5只中有两只坏的的概率。 解 （1）设5只全是好的，则 ； （2）设5只中有两只坏的，则 . 6袋中有编号为1到10的10个球，今从袋中任取3个球，求 （1）3个球的最小号码为5的概率； （2）3个球的最大号码为5的概率. 解 （1）设最小号码为5，则 ； （2）设最大号码为5，则 . 7（1）教室里有个学生，求他们的生日都不相同的概率； （2）房间里有四个人，求至少两个人的生日在同一个月的概率. 解 （1）设他们的生日都不相同，则 ； （2）设至少有两个人的生日在同一个月，则 ；或 . 8设一个人的生日在星期几是等可能的，求6个人的生日都集中在一个星期中的某两天，但不是都在同一天的概率. 解 设生日集中在一星期中的某两天，但不在同一天，则 . 9将等7个字母随机地排成一行，那么恰好排成英文单词SCIENCE的概率是多少？ 解1 设恰好排成SCIENCE 将7个字母排成一列的一种排法看作基本事件，所有的排法： 字母在7个位置中占两个位置，共有种占法，字母在余下的5个位置中占两个位置，共有种占法，字母剩下的3个位置上全排列的方法共3！种，故基本事件总数为，而中的基本事件只有一个，故； 解2 七个字母中有两个，两个，把七个字母排成一排，称为不尽相异元素的全排列。一般地，设有个元素，其中第一种元素有个，第二种元素有个，第种元素有个，将这个元素排成一排称为不尽相异元素的全排列。不同的排列总数为， 对于本题有. 10从等个数字中，任意选出不同的三个数字，试求下列事件的概率：三个数字中不含0和5，三个数字中不含0或5，三个数字中含0但不含5. 解 . ，或 ， . 11将双大小各不相同的鞋子随机地分成堆，每堆两只，求事件每堆各成一双的概率. 解 双鞋子随机地分成堆属分组问题，不同的分法共每堆各成一双共有种情况，故 12设事件与互不相容，求与 解 因为不相容，所以，于是 13若且，求. 解 由得 14设事件及的概率分别为，求及 解 . 15设，且仅发生一个的概率为0.5，求都发生的概率。 解1 由题意有 ，所以 . 解2 仅发生一个可表示为，故 所以 . 16设，求与. 解 ，所以 ，故 ； .所以 17设，试证明 证 因为，所以故 . 证毕. 18对任意三事件，试证. 证 . 证毕. 19设是三个事件，且，求至少有一个发生的概率。 解 因为 ，所以，于是 20随机地向半圆（为正常数）内掷一点，点落在园内任何区域的概率与区域的面积成正比，求原点与该点的连线与轴的夹角小于的概率. 解：半圆域如图0yxyxax 设原点与该点连线与轴夹角小于 由几何概率的定义 21把长为的棒任意折成三段，求它们可以构成三角形的概率. 解1 设三段可构成三角形，又三段的长分别为，则，不等式构成平面域.aS 发生Aa/2 不等式确定的子域，所以aa/20 解2 设三段长分别为，则且 ，不等式确定了三维空间上的有界平面域.xzyA 发生 不等式确定的子域，所以 . 22随机地取两个正数和，这两个数中的每一个都不超过1，试求与之和不超过1，积不小于0.09的概率.1yy1y0.90.10yASy 解 ，不等式确定平面域. 则发生的 充要条件为不 等式确定了的子域，故 23（蒲丰投针问题）在平面上画出等距离的一些平行线，向平面上随机地投掷一根长的针，求针与任一平行线相交的概率. 解 设针与某平行线相交，针落在平面上的情况不外乎图中的几种， 设为针的中点到最近的一条平行线的距离。 为针与平行线的夹角，则ayay ，不等式确定了平面上xy0yAS 的一个区域. 发生，不等式确定的子域 故 习 题 二 1假设一批产品中一、二、三等品各占60%，30%，10%，从中任取一件，发现它不是三等品，求它是一等品的概率. 解 设任取一件是等品 ，所求概率为 ，因为 所以 故 . 2设10件产品中有4件不合格品，从中任取两件，已知所取两件中有一件是不合格品，求另一件也是不合格品的概率. 解 设所取两件中有一件是不合格品 所取两件中恰有件不合格 则 ，所求概率为 . 3袋中有5只白球6只黑球，从袋中一次取出3个球，发现都是同一颜色，求这颜色是黑色的概率. 解 设发现是同一颜色，全是白色，全是黑色，则 ，所求概率为 4从52张朴克牌中任意抽取5张，求在至少有3张黑桃的条件下，5张都是黑桃的概率. 解 设至少有3张黑桃，5张中恰有张黑桃，则 ，所求概率为. 5设求与. 解 . 6甲袋中有3个白球2个黑球，乙袋中有4个白球4个黑球，今从甲袋中任取2球放入乙袋，再从乙袋中任取一球，求该球是白球的概率。 解 设从乙袋中取出的是白球，从甲袋中取出的两球恰有个白球. 由全概公式 . 7一个盒子中装有15个乒乓球，其中9个新球，在第一次比赛时任意抽取3只，比赛后仍放回原盒中；在第二次比赛时同样地任取3只球，求第二次取出的3个球均为新球的概率。 解 设第二次取出的均为新球， 第一次取出的3个球恰有个新球由全概公式 . 8电报发射台发出和的比例为5:3，由于干扰，传送（）时失真的概率为2/5，传送时失真的概率为1/3，求接受台收到时发出信号恰是的概率。 解