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2019-2020年中考数学复习针对性训练:四边形的综合题二十二(针对陕西中考第26题)1(xx陕西)如图,正三角形ABC的边长为3.(1)如图,正方形EFPN的顶点E,F在边AB上,顶点N在边AC上,在正三角形ABC及其内部,以点A为位似中心,作正方形EFPN的位似正方形EFPN,且使正方形EFPN的面积最大(不要求写作法);(2)求(1)中作出的正方形EFPN的边长;(3)如图,在正三角形ABC中放入正方形DEMN和正方形EFPH,使得DE,EF在边AB上,点P,N分别在边CB,CA上,求这两个正方形面积和的最大值和最小值,并说明理由解:(1)如图,正方形EFPN即为所求(2)设正方形EFPN的边长为x,ABC为正三角形,AEBFx,EFAEBFAB,xxx3,x,即x33(x2.20也正确)(3)如图,连接NE,EP,PN,则NEP90,设正方形DEMN,正方形EFPH的边长分别为m,n(mn),它们的面积和为S,则NEm,PEn,PN2NE2PE22m22n22(m2n2),Sm2n2PN2,延长PH交ND于点G,则PGND,在RtPGN中,PN2PG2GN2(mn)2(mn)2,ADDEEFBFAB,即mmnn3,化简得mn3,S32(mn)2(mn)2当(mn)20时,即mn时,S最小,S最小;当(mn)2最大时,S最大,即当m最大且n最小时,S最大,mn3,由(2)知,m最大33,S最大9(m最大n最小)29(3363)29954(S最大5.47也正确),综上所述,S最大9954,S最小2(2011陕西)如图,在矩形ABCD中,将矩形折叠,使B落在边AD(含端点)上,落点记为E,这时折痕与边BC或者边CD(含端点)交于F,然后再展开铺平,则以B,E,F为顶点的BEF称为矩形ABCD的“折痕三角形”(1)由“折痕三角形”的定义可知,矩形ABCD的任意一个“折痕BEF”一定是一个_等腰_三角形;(2)如图,在矩形ABCD中,AB2,BC4,当它的“折痕BEF”的顶点E位于AD的中点时,画出这个“折痕BEF”,并求出点F的坐标;(3)如图,在矩形ABCD中,AB2,BC4,该矩形是否存在面积最大的“折痕BEF”?若存在,说明理由,并求出此时点E的坐标?若不存在,为什么?解:(2)如图,连接BE,画BE的中垂线交BC于点F,连接EF,BEF是矩形ABCD的一个折痕三角形,折痕垂直平分BE,ABAE2,点A在BE的中垂线上,即折痕经过点A,四边形ABFE为正方形,BFAB2,F(2,0)(3)矩形ABCD存在面积最大的折痕三角形BEF,其面积为4,理由如下:当F在边OC上时,如图所示SBEFS矩形ABCD,即当F与C重合时,面积最大为4当F在边CD上时,如图所示,过F作FHBC交AB于点H,交BE于K.SEKFKFAHHFAHS矩形AHFD,SBKFKFBHHFBHS矩形BCFH,SBEFS矩形ABCD4,即当F为CD中点时,BEF面积最大为4,下面求面积最大时,点E的坐标当F与点C重合时,如图所示由折叠可知CECB4,在RtCDE中,ED2,AE42,E(42,2)当F在边DC的中点时,点E与点A重合,如图所示,此时E(0,2)综上所述,折痕BEF的最大面积为4时,点E的坐标为E(0,2)或E(42,2)
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