2019年高考数学一轮复习 第四单元 导数及其应用 高考达标检测（十三）极值、最值两考点，利用导数巧推演 理一、选择题1函数f(x)(x21)22的极值点是()Ax1Bx1Cx1或1或0 Dx0解析：选Cf(x)x42x23，由f(x)4x34x4x(x1)(x1)0，得x0或x1或x1，又当x1时，f(x)0，当1x0，当0x1时，f(x)1时，f(x)0，x0,1，1都是f(x)的极值点2已知函数f(x)x3ax2bxa27a在x1处取得极大值10，则的值为()A B2C2或 D2或解析：选A由题意知，f(x)3x22axb，f(1)0，f(1)10，即解得或经检验满足题意，故.3(xx浙江瑞安中学月考)已知函数f(x)x3bx2cx的图象如图所示，则xx等于()A. B.C. D.解析：选C由图象可知f(x)过点(1,0)与(2,0)，x1，x2是函数f(x)的极值点，因此1bc0,84b2c0，解得b3，c2，所以f(x)x33x22x，所以f(x)3x26x2.x1，x2是方程f(x)3x26x20的两根，因此x1x22，x1x2，所以xx(x1x2)22x1x24.4已知函数f(x)x3ax2bxc，x2,2表示的曲线过原点，且在x1处的切线斜率均为1，有以下命题：f(x)的解析式为：f(x)x34x，x2,2；f(x)的极值点有且仅有一个；f(x)的最大值与最小值之和等于零其中正确的命题个数为()A0 B1C2 D3解析：选Cf(x)3x22axb，因为函数f(x)x3ax2bxc，x2,2表示的曲线过原点，且在x1处的切线斜率均为1，所以解得则f(x)x34x，x2,2，故正确；f(x)3x24，令f(x)0，解得x2,2，易知，x均为函数的极值点，故错误；易知函数f(x)x34x，x2,2是奇函数，所以最大值与最小值之和为0，故正确因此，正确命题的个数为2，故选C.5(xx长沙二模)已知函数f(x)(a0)在1，)上的最大值为，则a的值为()A.1 B.C. D.1解析：选A由f(x)，得f(x)，当a1时，若x，则f(x)0，f(x)单调递减，若1x，则f(x)0，f(x)单调递增，故当x时，函数f(x)有最大值，得a1，不合题意；当a1时，函数f(x)在1，)上单调递减，最大值为f(1)，不合题意；当0a1时，函数f(x)在 1，)上单调递减，此时最大值为f(1)，得a1，符合题意故a的值为1，选A.6已知直线l1：yxa分别与直线l2：y2(x1)及曲线C：yxln x交于A，B两点，则A，B两点间距离的最小值为()A. B3C. D3解析：选D由得A(a2,2a2)，由得B(ea，aea)，|AB|(eaa2)，令g(a)eaa2，则g(a)ea1，g(a)在(，0)上递减，在(0，)上递增，所以g(a)在a0处取得最小值g(0)3，所以A，B两点间距离的最小值为3.二、填空题7若函数f(x)2x2ln x在其定义域的一个子区间(k1，k1)内存在最小值，则实数k的取值范围是_解析：因为f(x)的定义域为(0，)，又f(x)4x，由f(x)0，得x.据题意解得1k0)设g(x)(x0)，则g(x)，g(x)在(0,1)上单调递减，在(1，)上单调递增g(x)在(0，)上有最小值，为g(1)e，结合g(x)与yk的图象可知，要满足题意，只需ke.答案：(，e9(xx湘中名校联考)已知函数g(x)ax2xe，e为自然对数的底数与h(x) n x的图象上存在关于x轴对称的点，则实数a的取值范围是_解析：由题意，知方程x2a2ln x，即a2ln xx2在上有解设f(x)2ln xx2，则f(x)2x.易知x时，f(x)0，x1，e时f(x)0，所以函数f(x)在上单调递增，在1，e上单调递减，所以f(x)极大值f(1)1，又f(e)2e2，f 2，f(e)f，所以方程a2ln xx2在上有解等价于2e2a1，所以a的取值范围为1，e22答案：1，e22三、解答题10已知函数f(x)(1)求f(x)在区间(，1)上的极小值和极大值点；(2)求f(x)在1，e(e为自然对数的底数)上的最大值解：(1)当x0时，f(x)在1，e上单调递增，则f(x)在1，e上的最大值为f(e)a.故当a2时，f(x)在1，e上的最大值为a；当a0.(1)求函数f(x)的单调区间；(2)讨论函数f(x)的零点个数解：(1)函数f(x)的定义域为(0，)，因为f(x)x(a1)(x0)，当0a1时，令f(x)0，得ax0，得0x1，所以函数f(x)的单调增区间为(0，a)和(1，)，单调减区间为(a,1)当a1时，f(x)0恒成立，所以函数f(x)的单调增区间为(0，)，无减区间当a1时，令f(x)0，得1x0，得0xa，所以函数f(x)的单调增区间为 (0,1)和(a，)，单调减区间为(1，a)(2)由(1)可知，当0a1时，函数f(x)的单调增区间为(0，a)和(1，)，单调减区间为(a,1)，所以f(x)极大值f(a)a2aaln a0，f(x)极小值f(1)a0，所以函数f(x)有唯一零点当a1时，函数f(x)在(0，)上单调递增，又注意到f(1)0，所以函数f(x)有唯一零点当a1时，函数f(x)的单调增区间为(0,1)和(a，)，单调减区间为(1，a)，所以f(x)极大值f(1)a0，f(x)极小值f(a)a2aaln a0，所以函数f(x)有唯一零点，综上，函数f(x)有唯一零点12已知函数f(x)ln xx2ax(aR)(1)当a3时，求函数f(x)的单调区间；(2)若函数f(x)有两个极值点x1，x2，且x1(0,1，证明f(x1)f(x2)ln 2.解：f(x)2xa(x0)(1)当a3时，f(x).令f(x)0，得x或x1.所以当0x1时，f(x)0；当x1时，f(x)0.所以函数f(x)的单调递增区间为和(1，)，单调递减区间为.(2)证明：由于f(x)有两个极值点x1，x2，则2x2ax10有两个不相等的实根，所以x1x2，x1x2，即2(x1x2)a，x2，所以f(x1)f(x2)ln x1xax1ln x2xax2ln x1ln (x1x2)a(x1x2)2ln x1xln 2(0x11)，设F(x)2ln xx2ln 2(0x1)，则F(x)2x0时，c，不符合题意；当a0时，c，又因为f(x)有极大值4，所以f3a24，解得a6，则c3.2已知函数f(x)x2(1m)xln x.(1)若函数f(x)存在单调递减区间，求实数m的取值范围；(2)设x1，x2(x1x2)是函数f(x)的两个极值点，若m，求f(x1)f(x2)的最小值解：(1)因为f(x)x2(1m)xln x，所以f(x)x1m.又因为f(x)0，只需解得即m3.所以实数m的取值范围为(3，)(2)f(x)，令f(x)0，即x2(1m)x10，由题知，两根分别为x1，x2，则又因为f(x1)f(x2)x(1m)x1ln x1x(1m)x2ln x2(xx)(1m)(x1x2)ln (xx)(xx)ln ln (xx)ln ln .令t，由于x1x2，所以0t1.又因为m，(x1x2)2(m1)2，即2，即t2，所以4t217t40，解得t4或t，即0t.令h(t)ln t，则h(t)0，所以h(t)在上单调递减，h(t)minhln 2ln 2.所以f(x1)f(x2)的最小值为2ln 2.