2012汕头二模理科数学参考答案一、选择题：题号12345678答案CDDBBDDA二、填空题： 9、 1 ， 10、 3 ， 11、， 12、 ， 13、 5 ， 14、 15、 ，三、解答题：16、解：（1） -（1分）-（3分）-（4分）-（5分）-（6分）(2)方法一：由题意知道：-（8分） -（9分）-（10分）此时即-（12分）方法二：可以根据关于的对称区间上函数的最值。17、证明：（1）平面，平面-（1分）_D_C_B_A_D_1_C_1_B_1_A_1第17题图 ，又-（2分） -（3分） 又平面-（5分）（2）方法一：建立如图所示的空间直角坐标系，设，那么；-（6分）；-（7分）假设平面与平面的法向量分别为；，那么；令-（8分）同理可以求得： -（9分），-（11分）此时，正四棱柱是棱长为1的正方体，且四棱锥的体积-（12分）方法二：过点作于，连接,容易证得，=-（7分）_D_C_B_A_D_1_C_1_B_1_A_1第17题图H所以，且在中，由余弦定理可得：所以=，又可证得：-（9分）,所以在,由等面积法：=,即-（9分）所以，-（11分）此时，正四棱柱是棱长为1的正方体，且四棱锥的体积-（12分）18、解法一：(1)设既会唱歌又会跳舞的有x人，那么由题意可知：只会唱歌的有（2-x）人，只会跳舞的有（5-x）人，文娱队中共有（7-x）人，那么只会一项的人数是（7-2 x）人-（3分）显然x可以取得的值只有0，1，2 当x=0时，为不可能事件，显然不符合题意-（4分） 当x=1时，是对立事件，且所以x=1时不符合题意-（6分）当x=2时，符合题意。-（8分）综上可知道：既会唱歌又会跳舞的有2人，且文娱队中共有5人-（9分）（2）的可能取值为0，1，2 -（10分），-（11分） ，-（12分）012P = -（14分） 如果按照下列解法最多给10分解法二：设既会唱歌又会跳舞的有x人，则文娱队中共有（7-x）人，那么只会一项的人数是（7-2 x）人-（2分） (I)，（3分）即x=2故文娱队共有5人（5分） (II) 的可能取值为0，1，2 -（6分），-（7分） ，-（8分）012P = -（10分） 19、解：（1）容易求得：，-（2分）故可以猜想， 下面利用数学归纳法加以证明：（i） 显然当时，结论成立，-（3分）（ii） 假设当；时（也可以），结论也成立，即，-（4分）那么当时，由题设与归纳假设可知：-（6分）即当时，结论也成立，综上，对,成立。-（7分）（2）-（9分）所以-（11分）所以只需要证明（显然成立）所以对任意的自然数，都有-（14分）20、解：（1）Q为PN的中点且GQPNGQ为PN的中垂线|PG|=|GN|-（3分）|GN|+|GM|=|MP|=6，故G点的轨迹是以M、N为焦点的椭圆，其长半轴长，半焦距，短半轴长b=2，点G的轨迹方程是 -（6分） （2）因为，所以四边形OASB为平行四边形若存在l使得|=|，则四边形OASB为矩形（7分）若l的斜率不存在，直线l的方程为x=2，由矛盾，（8分）故l的斜率存在，设l的方程为（10分） （11分） （12分）把、代入存在直线使得四边形OASB的对角线相等. （14分）21、（1）由可知，函数定义域为且 当及时，当时，的单调递增区间为 （4分）（2）当时，=所以，当变化时，的变化情况如下：（0,1）1（1,2）2（2，+00+增函数取极大值减函数取极小值增函数所以函数的图像大致如下： xyo所以，由图像，若函数有三个不同的零点，（3）由题意：当时，则在点P处切线的斜率所以 令，则当时，在上单调递减.时，从而有时，当时，在上单调递减，从而有时，在上不存在“类对称点”.当时，在上是增函数，故是一个类对称点的横坐标. （14分）