学科素养培优八 求椭圆方程的几种常用方法 在解析几何的以椭圆为载体的解答题中 第一问往往是先求椭圆方程 能 否正确求出椭圆方程是解题的先决条件 下面我们总结求椭圆方程的几 个常用方法 方法一 定义法 例1 导学号 49612220 已知圆C x 3 2 y2 100及点A 3 0 P是圆C上任 一点 线段PA的垂直平分线l与PC相交于Q点 则Q点的轨迹方程是 思路点拨 线段垂直平分线上的任意一点到线段两个端点的距离相等 对于 点Q 则 QA QP P C Q三点共线 可得点Q到两个定点A C的距离之和等于 常数 根据椭圆定义可得椭圆方程中的系数 反思归纳 当动点满足到两定点距离之和为常数时 该常数大于两定点之 间的距离 动点的轨迹为椭圆 可以在特定的坐标系中直接得出椭圆方程 的系数 写出椭圆方程 方法二 待定系数法 思路点拨 1 在a 3b的情况下 椭圆过点A 3 0 分焦点在x y轴求解 例2 1 已知椭圆的长轴是短轴的3倍 且过点A 3 0 并且以坐标轴为 对称轴 求椭圆的标准方程 思路点拨 2 椭圆的焦点位置不确定 可以设椭圆方程为一般形式mx2 ny2 1 m 0 n 0 m n 根据椭圆过两个点得到两个独立的方程 通过这两个独立的 方程求解待定的系数即可求出椭圆方程 反思归纳 1 求解椭圆标准方程时 如果不能确定椭圆焦点的位置 要有 分类讨论的思想意识 2 当椭圆的焦点位置不确定时可以设椭圆方程的一 般形式mx2 ny2 1 m 0 n 0 m n 根据题目的其它已知条件得到两个独立 的方程 通过方程确定椭圆方程中的系数 这种待定系数的方法是求解椭圆 方程的基本方法之一 方法三 代入法 思路点拨 动点M的轨迹为圆 建立动点T的坐标与动点M的坐标之间的关系 代入动点M的轨迹方程得出动点T的轨迹的方程 反思归纳 方法四 消参法 思路点拨 设出动点坐标 利用斜率之积得出方程 化简整理方程即得 反思归纳 当所求的曲线是由两条动直线的交点P x y 所形成的 是动直线 那么这两条直线的方程就必然含有变动的参数 通过解两直线方程所组成的 方程组 就能将交点P x y 的坐标用这些参数表达出来 也就求出了动点 P x y 所形成的曲线的参数方程 消掉参数就得到了动点P x y 所形成的曲 线的普通方程