8 2 空间几何体的表面积与体积 第八章 立体几何与空间向量 NEIRONGSUOYIN 内容索引 基础知识 自主学习 题型分类 深度剖析 课时作业 1基础知识 自主学习 PART ONE 知识梳理 1 多面体的表面积 侧面积 因为多面体的各个面都是平面 所以多面体的侧面积就是 表面积是侧面积与底面面积之和 ZHISHISHULI 所有侧面的面积之和 2 圆柱 圆锥 圆台的侧面展开图及侧面积公式 圆柱圆锥圆台 侧面展开图 侧面积公式S圆柱侧 S圆锥侧 S圆台侧 2 rl rl r1 r2 l 3 柱 锥 台 球的表面积和体积 名称 几何体 表面积体积 柱体 棱柱和圆柱 S表面积 S侧 2S底V 锥体 棱锥和圆锥 S表面积 S侧 S底V 台体 棱台和圆台 S表面积 S侧 S上 S下 球S V Sh 4 R2 1 如何求旋转体的表面积 概念方法微思考 提示 求旋转体的侧面积时需要将曲面展开为平面图形计算 而表面积是侧 面积与底面积之和 2 如何求不规则几何体的体积 提示 求不规则几何体的体积要注意分割与补形 将不规则的几何体通过分 割或补形转化为规则的几何体求解 题组一 思考辨析 1 判断下列结论是否正确 请在括号中打 或 1 多面体的表面积等于各个面的面积之和 2 台体的体积可转化为两个锥体的体积之差 3 锥体的体积等于底面积与高之积 4 已知球O的半径为R 其内接正方体的边长为a 则R a 5 圆柱的一个底面积为S 侧面展开图是一个正方形 那么这个圆柱的侧面积 是2 S 基础自测 JICHUZICE 12345 6 题组二 教材改编 2 P27练习T1 已知圆锥的表面积等于12 cm2 其侧面展开图是一个半圆 则底面圆的半径为 A 1 cm B 2 cm C 3 cm D cm 12345 解析 S表 r2 rl r2 r 2r 3 r2 12 r2 4 r 2 6 3 P28A组T3 如图 将一个长方体用过相邻三条棱的中点的平面截出一个棱 锥 则该棱锥的体积与剩下的几何体体积的比为 1 47 解析 设长方体的相邻三条棱长分别为a b c 12345 所以V1 V2 1 47 6 题组三 易错自纠 4 一个几何体的三视图如图所示 则该几何体的表面积为 A 3 B 4 C 2 4 D 3 4 12345 解析 由几何体的三视图可知 该几何体为半圆柱 直 观图如图所示 6 12345 A 24 B 18 C 10 D 6 6 12345 6 已知某几何体的三视图如图所示 则该几何体的体积为 6 2题型分类 深度剖析 PART TWO 1 2018 全国 已知圆柱的上 下底面的中心分别为O1 O2 过直线O1O2的平 面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形 则该圆柱的表面积为 题型一 求空间几何体的表面积 自主演练 解析 设圆柱的轴截面的边长为x 2 2018 浙江省 七彩阳光 联盟联考 某四棱锥的三视图如图所示 则该四 棱锥的表面积为 解析 由三视图知该四棱锥是如图所示的棱长为2的 正方体中的四棱锥P BCDE 3 2018 浙江省嘉兴一中联考 一个圆锥的表面积为 它的侧面展开图是圆心 角为120 的扇形 则该圆锥的高为 解析 设圆锥底面半径是r 母线长为l 空间几何体表面积的求法 1 旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用 2 多面体的表面积是各个面的面积之和 组合体的表面积注意衔接部分的处 理 3 以三视图为载体的需确定几何体中各元素之间的位置关系及数量 思维升华 题型二 求空间几何体的体积 命题点1 求以三视图为背景的几何体的体积 例1 2018 浙江省杭州市七校联考 已知图中的网格是由边长为1的小正方形组 成的 一个几何体的三视图如图中的粗实线和粗虚线所示 则这个几何体的体 积为 多维探究 解析 由三视图知该几何体是一个三棱锥 其直观图如图所示 高为4 底面 三角形一边长为8 对应的高为4 解析 如题图 因为 ABC是正三角形 且D为BC中点 则AD BC 又因为BB1 平面ABC AD 平面ABC 故BB1 AD 且BB1 BC B BB1 BC 平面BCC1B1 所以AD 平面BCC1B1 所以AD是三棱锥A B1DC1的高 所以 空间几何体体积问题的常见类型及解题策略 1 直接利用公式进行求解 2 用转换法 分割法 补形法等方法进行求解 3 以三视图的形式给出的应先得到几何体的直观图 思维升华 跟踪训练1 1 2018 嘉兴模拟 九章算术 是我国古代内容极为丰富的数学名 著 书中有如下问题 今有刍甍 下广三丈 袤四丈 上袤二丈 无广 高 一丈 问 积几何 其意思为 今有底面为矩形的屋脊状的楔体 下底面 宽3丈 长4丈 上棱长2丈 高1丈 问它的体积是多少 已知1丈为10尺 现 将该楔体的三视图给出 其中网格纸上小正方形的边长为1丈 则该楔体的体积为 A 5 000 立方尺 B 5 500 立方尺 C 6 000 立方尺 D 6 500 立方尺 解析 分割法 该楔体的直观图如图中的几何体ABCDEF 取AB的中点G CD的中点H 连接FG GH HF 则该几何体的体积为四棱锥F GBCH与三棱柱ADE GHF 的体积之和 2 如图 直三棱柱ABC A1B1C1的各条棱长均为2 D为棱B1C1上任意一点 则 三棱锥D A1BC的体积是 解析 题型三 与球有关的切 接问题 师生共研 例3 已知直三棱柱ABC A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上 若AB 3 AC 4 AB AC AA1 12 则球O的半径为 解析 如图所示 由球心作平面ABC的垂线 则垂足为BC的中点M 1 本例若将直三棱柱改为 棱长为4的正方体 则此正方体外接球和内切球的 体积各是多少 引申探究 解 由题意可知 此正方体的体对角线长即为其外接球的直径 正方体的棱长 即为其内切球的直径 设该正方体外接球的半径为R 内切球的半径为r 2 本例若将直三棱柱改为 正四面体 则此正四面体的表面积S1与其内切球 的表面积S2的比值为多少 3 本例中若将直三棱柱改为 侧棱和底面边长都是3 的正四棱锥 则其外 接球的半径是多少 因此底面中心到各顶点的距离均等于3 所以该正四棱锥的外接球的球心即为底面正方形的中心 其外接球的半径为3 切 接 问题的处理规律 1 切 的处理 首先要找准切点 通过作截面来解决 截面过球心 2 接 的处理 抓住外接的特点 即球心到多面体的顶点的距离等于球的半径 思维升华 跟踪训练2 1 一个棱锥的三视图如图所示 则这个棱锥的外接球的表面积为 A 34 B 25 C 41 D 50 解析 根据题中所给的三视图可以断定该几何体应该是由长 宽 高分别是 4 3 3的长方体所截成的四棱锥 所以该棱锥的外接球相当于对应的长方体的外接球 所以长方体的体对角线就 是其外接球的直径 从而求得其表面积为S 4 R2 34 故选A 所以AB 6 所以三棱锥D ABC高的最大值为2 4 6 3课时作业 PART THREE 1 2018 湖州模拟 一个棱锥的三视图如图 单位 cm 则该棱锥的表面积是 基础保分练 解析 由三视图得该几何体是底面为底为2 高为2的 等腰三角形 高为2的三棱锥 且三棱锥的顶点在底面 的投影为底面等腰三角形的底边的中点 12345678910111213141516 2 2018 浙江金华十校调研 一个几何体的三视图如图所示 其中俯视图与侧视 图均为半径是2的圆 则这个几何体的表面积是 A 16 B 14 C 12 D 8 12345678910111213141516 12345678910111213141516 4 2018 浙江 某几何体的三视图如图所示 单位 cm 则该几何体的体积 单位 cm3 是 A 2 B 4 C 6 D 8 12345678910111213141516 解析 由几何体的三视图可知 该几何体是一个底面 为直角梯形 高为2的直四棱柱 直角梯形的上 下底 边长分别为2 1 高为2 5 2018 浙江考前热身联考 如图 网格纸上小正方形的边长为1 粗实线和虚 线画出的是某空间几何体的三视图 则该几何体的体积为 12345678910111213141516 解析 构造棱长为2的正方体如图所示 由三视图知该 几何体是图中的四棱锥P ABCD 其中B D分别为棱 的中点 6 2018 浙江省联盟校联考 已知一个几何体的三视图如图所示 则该几何体 的表面积为 12345678910111213141516 7 2018 浙江名校联盟联考 某几何体的三视图如图所示 则该几何体的体积是 12345678910111213141516 故该几何体的体积为8 2 故选A 8 2018 浙江省十校联盟高考适应性考试 某几何体的三视图如图所示 则该几何 体的体积等于 侧面积等于 解析 如图 构造底面边长为3和2 高为2的长方体 由 三视图可知该空间几何体为底面边长为3和2 高为2的四 棱锥S ABCD 其中平面SCD 底面ABCD 12345678910111213141516 4 9 2019 绍兴质检 如图 网格纸上小正方形的边长为1 粗实线画出的是某多面 体的三视图 则该多面体的体积为 12345678910111213141516 解析 由三视图可知 该几何体由四分之一个底面半径 为1 高为1的圆锥与一个底面为长方形 高为1的四棱 锥组成 如图所示 10 长方体的长 宽 高分别为3 2 1 其顶点都在球O的球面上 则球O的表面 积为 14 解析 长方体的顶点都在球O的球面上 长方体的体对角线的长度就是其外接球的直径 12345678910111213141516 11 从一个正方体中截去部分几何体 得到一个以原正方体的部分顶点 为顶点的多面体 其三视图如图 则该几何体的体积为 表面积为 12345678910111213141516 9 解析 由三视图知该几何体是如图所示的四棱锥P ABCD 12 如图 在 ABC中 AB 8 BC 10 AC 6 DB 平面ABC 且 AE FC BD BD 3 FC 4 AE 5 求此几何体的体积 12345678910111213141516 解 方法一 如图 取CM AN BD 连接DM MN DN 用 分割法 把原几何体分割成一个直三棱柱和一个四棱锥 则V几何体 V三棱柱 V四棱锥 则几何体的体积为V V1 V2 72 24 96 12345678910111213141516 方法二 用 补形法 把原几何体补成一个直三棱柱 使AA BB CC 8 12345678910111213141516 13 2019 宁波模拟 已知一个三棱锥的三视图如图所示 其中俯视图是顶角为 120 的等腰三角形 侧视图为直角三角形 则该三棱锥的表面积为 该三棱锥的外接球的体积为 技能提升练 12345678910111213141516 12345678910111213141516 14 2018 温州模拟 某几何体的三视图如图所示 单位 cm 则该几何体的体 积是 cm3 表面积是 cm2 12345678910111213141516 1 解析 如图 在长方体中作出该几何体的直观图 记为四棱锥P ABCD 12345678910111213141516 因为PB2 PA2 AB2 12 22 12 6 BC2 2 PC2 PD2 CD2 22 22 8 所以PC2 PB2 BC2 所以PB BC 12345678910111213141516 所以四棱锥P ABCD的表面积 拓展冲刺练 15 2018 浙江省联盟校联考 已知矩形ABCD的周长为20 当矩形ABCD的面积 最大时 沿对角线AC将 ACD折起 且二面角B AC D的大小为 则折叠 后形成的四面体ABCD的外接球的体积为 12345678910111213141516 由于正方形ABCD的外接圆的圆心即AC的中点 它到各个顶点的距离相等 所以沿对角线AC折叠后形成的四面体ABCD的外接球的球心为AC的中点