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2019-2020年高三数学不等式、方程中恒成立和有解问题一 填空1关于的不等式恒成立,则实数的取值范围 2已知函数和在的图象如下所示:给出下列四个命题: 方程有且仅有6个根 方程有且仅有3个根 方程有且仅有5个根 方程有且仅有4个根其中正确的命题是(将所有正确的命题序号填在横线上). 3若函数有3个不同的零点,则实数的取值范围是 4函数在上恒有,则的取值范围是 5在三角形中,角、的对边的边长分别为、,已知:,若对任意的三角形,都有,则实数的取值范围是 6.已知关于的方程有一个负根,但没有正根,则实数的取值范围是 二解答题 1、(1)设,其中,如果当时有意义,求的取值范围。(2)设,其中,且2,如果当时有意义,求的取值范围。2、已知是定义在上的奇函数,且,若、,有;(1)、判断函数在上的单调性,并证明你的结论; (2)、若对所有的、恒成立,求实数的取值范围。3、(1)若对于满足的所有恒成立,求实数的取值范围。(2)设,恒成立,求实数的取值范围。4若不等式在时恒成立,试求实数的取值范围。5已知定义域在上的减函数,使对 恒成立,求实数的取值范围。6、设函数,其中()当时,讨论函数的单调性;()若函数仅在处有极值,求的取值范围;()若对于任意的,不等式在上恒成立,求的取值范围7. 已知函数()当时,求函数的单调区间;()若函数的图像在点处的切线的倾斜角为,问:m在什么范围取值时,对于任意的,函数在区间上总存在极值?()当时,设函数,若在区间上至少存在一个,使得成立,试求实数p的取值范围8设函数(),(1) 若函数图象上的点到直线距离的最小值为,求的值;(2) 关于的不等式的解集中的整数恰有3个,求实数的取值范围;(3) 对于函数与定义域上的任意实数,若存在常数,使得和都成立,则称直线为函数与的“分界线”设,试探究与是否存在“分界线”?若存在,求出“分界线”的方程;若不存在,请说明理由参考答案一、1、解法(一):令,则变为不等式在上恒成立, 则或,得:。 解法(二):令,则变为不等式在上恒成立, 则在上恒成立, 则大于在上的最大值,得:。2、答案 3、4、依题意,恒成立恒成立, 则且。5、依题意, 由于对任意的三角形,都有,则:恒成立,则小于的最小值,大于的最大值,则。6、答案 a1二、1、解:1)、依题意,对恒成立, ; (2)、对恒成立, 对恒成立, 由于 则。(主要应用了函数的单调性)2、(1)、依题意,令,且、,则 ,则函数在上的单调增。 (2)、依题意,在上的最大值为1,则对恒成 立,对恒成立, 或或。3、(1)依题意,对恒成立, 。(2)、4、 5、。6、解:()当时,令,解得,当变化时,的变化情况如下表:极小值极大值极小值所以在,内是增函数,在,内是减函数()解:,显然不是方程的根为使仅在处有极值,必须恒成立,即有解此不等式,得这时,是唯一极值因此满足条件的的取值范围是()解:由条件可知,从而恒成立当时,;当时,因此函数在上的最大值是与两者中的较大者为使对任意的,不等式在上恒成立,当且仅当 即在上恒成立所以,因此满足条件的的取值范围是20.解:()由()由, 解得所以当 ()当使得 当 故只要,解得所以的取值范围是 解:(1)因为,所以,令得:,此时,2分则点到直线的距离为,即,解之得4分(2)解法一:不等式的解集中的整数恰有3个,等价于恰有三个整数解,故,6分令,由且, 所以函数的一个零点在区间,则另一个零点一定在区间,8分故解之得10分解法二:恰有三个整数解,故,即,6分,所以,又因为,8分所以,解之得10分(3)设,则所以当时,;当时,因此时,取得最小值,则与的图象在处有公共点12分设与存在 “分界线”,方程为,即,由在恒成立,则在恒成立 所以成立,因此14分下面证明恒成立 设,则 所以当时,;当时,因此时取得最大值,则成立故所求“分界线”方程为:
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