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利用垂线段最短解决最值问题模型一垂线段最短如图,已知直线 l 外一定点 A 和直线 l 上一动点 B,求 A、B 之间距离的最小值 .通常过点 A 作直线 l 的垂线 AB,利用垂线段最短解决问题,即连接直线外一点和直线上各点的所有线段中,垂线段最短【典型例题】1.如图,在 RtABC 中,C90,AD 是 BAC 的平分线,点 E 是 AB 上任意一点若 AD5,AC4,则 DE 的最小值为 ()A. 3 B. 4 C. 5 D. 6答案:A .当 DEAB 时,DE 最小,此时 DE = CD,在 RtACD 中,根据勾股定理易得 CD = 3 .2.如图,在 ABC 中,ABAC5,BC 边上高 AD4,若点 P 在边 AC 上 ( 不含端点 ) 移动,则 BP 长的最小值为 _答案:24/5 .如图,延长 CA,过点 B 作 BPCA 于点 P,此时 BP 的长最小 .在等腰 ABC 中根据 “三线合一” 的性质可知 BD = CD = 3 ,SABC = 1/2 BP AC = 1/2 AD BC,可得 BP = 24/5 . (等积求距)3.如图,点 A 坐标为 (2,0),点 B 在直线 yx4 上运动,当线段 AB 最短时,点 B 坐标为_答案:(1,-3).如图,当 AB直线 yx4 时,此时线段 AB 最短 .设直线 AB 的解析式为 y = kx + b (k 0), ABBB,KBB = 1,(KBB 为直线 yx4 的斜率 )KAB KBB = - 1 ,(两条直线垂直斜率乘积为 -1)KAB = - 1 , 即 k = -1 , 直线 AB 的解析式为 y = -x + b , 点 A(-2,0)在直线 AB 上, 0 = 2 + b , 解得 b = -2 , 直线 AB 的解析式为 y = -x - 2 .联立直线 y = x - 4 , 解方程可得 B(1,-3).模型二胡不归问题“胡不归” 问题即点 P 在直线 l 上运动时的 “ PAkPB ( 0 k k 1,可转化为 “ m ( PA + k/m PB ) ” 的最值 , 此时 0 k/m 1.(1) 本题若要求 “ 2AMBM ” 的最小值,你会吗?请求解答案:63 .(2) 本题若要求 “AMBMCM” 的最小值,你会吗?请求解答案:63 .AMBMCM 最小时,此时点 M 为 ABC 的“费马点”,所以 AMBMCM = BD = 2 3 / 2 6 = 63 .2.如图,在平面直角坐标系中,二次函数 yax2 + bxc 的图象经过点 A(1,0)、B(0,3 )、C(2,0),其对称轴与 x 轴交于点 D .若 P 为 y 轴上的一个动点,连接 PD,则 1/2 PBPD 的最小值为_答案:33 / 4 .如图1/2 PBPD = PD + 1/2 PB 的最小值为 DE,则 PBE = 30,可解得 DE = 33 / 4 .
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