第3课时课时 直线线与椭圆椭圆的位置关系 二 第一章 2 2 2 椭圆的几何性 质 NEIRONGSUOYIN 内容索引 题题型探究 达标检测标检测 1题型探究 PART ONE 题型一 弦长问题 解 设动点P的坐标是 x y 解 设直线l与曲线C的交点为M x1 y1 N x2 y2 16k2 4 1 2k2 8k2 4 0 整理得k4 k2 2 0 解得k2 1或k2 2 舍 k 1 经检验符合题意 直线l的方程是y x 1 即x y 1 0或x y 1 0 反思感悟 求弦长的两种方法 1 求出直线与椭圆的两交点坐标 用两点间距离公式求弦长 跟踪训练1 已知斜率为1的直线l过椭圆 y2 1的右焦点F 交椭圆于A B 两点 求弦AB的长 解 设A B两点的坐标分别为 x1 y1 x2 y2 题型二 中点弦问题 例2 已知椭圆 1的弦AB的中点M的坐标为 2 1 求直线AB的方程 解 方法一 根与系数的关系 中点坐标公式法 由椭圆的对称性 知直线AB的斜率存在 设直线AB的方程为y 1 k x 2 将其代入椭圆方程并整理 得 4k2 1 x2 8 2k2 k x 4 2k 1 2 16 0 设A x1 y1 B x2 y2 则x1 x2是上述方程的两根 又M为线段AB的中点 故所求直线的方程为x 2y 4 0 方法二 点差法 设A x1 y1 B x2 y2 x1 x2 M 2 1 为线段AB的中点 x1 x2 4 y1 y2 2 又A B两点在椭圆上 于是 x1 x2 x1 x2 4 y1 y2 y1 y2 0 故所求直线的方程为x 2y 4 0 方法三 对称点法 或共线法 设所求直线与椭圆的一个交点为A x y 由于点M 2 1 为线段AB的中点 则另一个交点为B 4 x 2 y A B两点都在椭圆上 得x 2y 4 0 即点A的坐标满足这个方程 根据对称性 点B的坐标也满足这个方程 而过 A B两点的直线只有一条 故所求直线的方程为x 2y 4 0 反思感悟 解决椭圆中点弦问题的两种方法 根与系数的关系法 联立直线方程和椭圆方程构成方程组 消去一个未知 数 利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决 解析 设A x1 y1 B x2 y2 例3 已知椭圆C 4x2 y2 1 1 P m n 是椭圆C上一点 求m2 n2的取值范围 题型三 与椭圆有关的最值或范围问题 解 m2 n2表示原点O到椭圆C上点P的距离的平方 2 设直线y x m与椭圆C相交于A x1 y1 B x2 y2 两点 求 AOB面积的 最大值及 AOB面积最大时的直线方程 将y x m代入4x2 y2 1 消去y得5x2 2mx m2 1 0 反思感悟 求最值问题的基本策略 1 求解形如 PA PB 的最值问题 一般通过椭圆的定义把折线转化为直线 当且仅当三点共线时 PA PB 取得最值 2 求解形如 PA 的最值问题 一般通过二次函数的最值求解 此时一定要 注意自变量的取值范围 3 求解形如ax by的最值问题 一般通过数形结合的方法转化为直线问题 解决 4 利用不等式 尤其是基本不等式求最值或取值范围 设点M的坐标是 m 0 又 6 m 6 解得m 2 所以点M 2 0 设椭圆上的点 x y 到点M的距离为d 有 由于 6 x 6 核心素养之数学运算 HEXINSUYANGZHISHUXUEYUNSUAN运用 设 设而不求 法研究直线线和椭圆椭圆位置关系问题问题 1 求椭圆的方程 得 m2 3 y2 2my 2 0 设E x1 y1 F x2 y2 m 1或m 1 舍去 直线EF的方程为x y 1 即x y 1 0 3 对于D 1 0 是否存在实数k 使得直线y kx 2分别交椭圆于点P Q 且 DP DQ 若存在 求出k的值 若不存在 请说明理由 解 记P x1 y1 Q x2 y2 得 3k2 1 x2 12kx 9 0 x1 x2 是此方程的两个相异实根 由 DP DQ 得DM PQ 故这样的k不存在 素养评析 本例 2 3 均采用了 设而不求 的数学运算策略 特别 3 利用 定点D与弦端点的几何关系 由设而不求的思想方法 转换成坐标关系 构 造出关于k的方程 减小了数学运算的难度 提高了解题效率 2达标检测 PART TWO 1 若直线l 2x by 3 0过椭圆C 10 x2 y2 10的一个焦点 则b等于 A 1 B 1 C 1 D 2 12345 12345 设直线与椭圆交于点A x1 y1 B x2 y2 12345 3 已知椭圆的方程是x2 2y2 4 0 则以M 1 1 为中点的弦所在直线的方程是 A x 2y 3 0 B 2x y 3 0 C x 2y 3 0 D 2x y 3 0 12345 解析 由题意易知所求直线的斜率存在 设过点M 1 1 的直线方程为y k x 1 1 即y kx 1 k 得 1 2k2 x2 4k 4k2 x 2k2 4k 2 0 即x 2y 3 0 12345 4 过椭圆 1的右焦点F作与x轴垂直的直线与椭圆交于A B两点 以 AB为直径的圆的面积是 12345 12345 设直线与椭圆的交点为A x1 y1 B x2 y2 即x2 3x 8 0 x1 x2 3 x1x2 8 课堂小结 KETANGXIAOJIE 解决直线与椭圆的位置关系问题 经常利用设而不求的方法 解题步 骤为 1 设直线与椭圆的交点为A x1 y1 B x2 y2 2 联立直线与椭圆的方程 3 消元得到关于x或y的一元二次方程 4 利用根与系数的关系设而不求 5 把题干中的条件转化为x1 x2 x1 x2或y1 y2 y1 y2 进而求解