1平面向量的基本定理及坐标表示导学目标： 1.了解平面向量的基本定理及其意义.2.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示.3.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算.4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件自主梳理1平面向量基本定理定理：如果 e1， e2是同一平面内的两个_向量，那么对于这一平面内的任意向量 a，_一对实数 1， 2，使 a_.我们把不共线的向量 e1， e2叫做表示这一平面内所有向量的一组_2夹角（1）已知两个非零向量 a 和 b，作 a， b，则 AOB 叫做向量 a 与 b 的OA OB _(2)向量夹角 的范围是_， a 与 b 同向时，夹角 _； a 与 b 反向时，夹角 _.(3)如果向量 a 与 b 的夹角是_，我们说 a 与 b 垂直，记作_3把一个向量分解为两个_的向量，叫做把向量正交分解4在平面直角坐标系中，分别取与 x 轴、 y 轴方向相同的两个单位向量 i， j 作为基底，对于平面内的一个向量 a，有且只有一对实数 x， y 使 a xi yj，我们把有序数对_叫做向量 a 的_，记作 a_，其中 x 叫 a 在_上的坐标， y叫 a 在_上的坐标5平面向量的坐标运算(1)已知向量 a( x1， y1)， b( x2， y2)和实数 ，那么a b_， a b_， a _.（2）已知 A（ ） ，B（ ） ，则 ( x2， y2)( x1， y1)1， 2， AB OB OA ( x2 x1， y2 y1)，即一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的_的坐标减去_的坐标6若 a( x1， y1)， b( x2， y2) (b0)，则 a b 的充要条件是_7(1) P1(x1， y1)， P2(x2， y2)，则 P1P2的中点 P 的坐标为_(2)P1(x1， y1)， P2(x2， y2)， P3(x3， y3)，则 P1P2P3的重心 P 的坐标为_自我检测1(2010福建)若向量 a( x,3)(xR)，则“ x4”是“| a|5”的 ()A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充要条件 D既不充分又不必要条件2设 a ， b ，且 ab ，则锐角 为 (32， sin ) (cos ， 13)()2A30 B45C60 D753.（2011马鞍山模拟）已知向量 a=(6，-4)， b（0，2） ， c a b ，若 C 点在OC 函数 ysin x 的图象上，则实数 等于 12()A. B.52 32C D52 324(2010陕西)已知向量 a(2，1)， b(1， m)， c(1，2)，若( a b) c，则 m_.5.（2009安徽）给定两个长度为 1 的平面向量 和 ，它们的夹角为 120.如图所OA OB 示，点 C 在以 O 为圆心的圆弧 上变动，若 x y ，其中 x， yR，则 x y 的最ABOC OA OB 大值是_. 探究点一平面向量基本定理的应用例 1 如图所示，在 OAB 中， ， ， AD 与 BC 交于点 M，设OC 14OA OD 12OB a， b，以 a、 b 为基底表示 .OA OB OM 变式迁移 1 （2011厦门模拟）如图，平面内有三个向量 、 、 ，其中 与 的夹OA OB OC OA OB 角为 120， 与 的夹角为 30，且| | |1，| |2 ，若OA OC OA OB OC 3 ( 、 R)，则 的值为_OC OA OB 探究点二平面向量的坐标运算例 2 已知 A（-2，4） ， B（3，-1） ， C（-3，-4） ，且 3 ， 2 ，试求点CM CA CN CB M， N 和 的坐标MN 3变式迁移 2 已知点 A（1，-2） ，若向量| 与 a(2,3)同向，| |2 ，则点 BAB AB 13的坐标为_探究点三在向量平行下求参数问题例 3(2011嘉兴模拟)已知平面内三个向量： a(3,2)， b(1,2)， c(4,1)(1)求满足 a mb nc 的实数 m、 n；(2)若( a kc)(2 b a)，求实数 k.变式迁移 3(2009江西)已知向量 a(3,1)， b(1,3)， c( k,7)，若( a c) b，则 k_.1在解决具体问题时，合理地选择基底会给解题带来方便在解有关三角形的问题时，可以不去特意选择两个基本向量，而可以用三边所在的三个向量，最后可以根据需要任意留下两个即可，这样思考问题要简单得多2.平面直角坐标系中，以原点为起点的向量 a，点 A 的位置被 a 所唯一确定，此时OA a 的坐标与点 A 的坐标都是( x， y)向量的坐标表示和以坐标原点为起点的向量是一一对应的，即向量( x， y) 向量 点 A(x， y)要把点的坐标与向量的坐A一 一 对 应 OA 一 一 对 应标区分开，相等的向量坐标是相同的，但起点、终点的坐标可以不同，也不能认为向量的坐标是终点的坐标，如 A(1,2)， B(3,4)，则 (2,2) AB (满分：75 分)一、选择题(每小题 5 分，共 25 分)1.已知 a,b 是不共线的向量，若 1a b， a 2b， ( 1， 2R)，则AB AC A、 B、 C 三点共线的充要条件为 ()A 1 21 B 1 21C 1 210 D 1 2102.如图所示，平面内的两条相交直线 OP1和 OP2将该平面分割成四个部分、（不包括边界）.若 a b ，且点 P 落在第部分，则实数 a， bOP OP1 OP2 满足 ()A a0， b0 B a0， b0 D a0)AB 由| |2 ，4 t29 t2413. t24.AB 13 t0， t2. (4,6)AB 设 B 为( x， y)，Error!Error!例 3解(1) a mb nc， m， nR，(3,2) m(1,2) n(4,1)( m4 n,2m n)Error! 解之得Error!(2)( a kc)(2 b a)，且 a kc(34 k,2 k)，2 b a(5,2)，(34 k)2(5)(2 k)0， k .1613变式迁移 35解析 a c(3,1)( k,7)(3 k，6)，且( a c) b， ， k5.3 k1 63课后练习区1C A、 B、 C 三点共线 与 共线 k Error! 1 210.AB AC AB AC 2.B 由于点 P 落在第部分，且 a b ，则根据实数与向量的积的定义及OP OP1 OP2 平行四边形法则知 a0， b0.3A2 b(2 m， m2sin )， 22 m， 2cos 2 m2sin ，(2 m2) 2 mcos 2 2sin ，即 4m29 m41sin 2 2sin .又21sin 2 2sin 2，24 m29 m42，解得 m2，14 4.又 2 m2，12 1m 2 ，62 1. m 2m 2m62解析方法一若 M 与 B 重合， N 与 C 重合，8则 m n2.方法二 2 m n ，AO AB AC AM AN .AO m2AM m2AM O、 M、 N 共线， 1.m2 n2 m n2.7(0，2)解析设 D 点的坐标为( x， y)，由题意知 ， 即(2，2)( x2， y)，所以 x0， y2， D(0，2)8. 3S| | |sin 60 .AB 2 2 32 39证明设 E、 F 两点的坐标分别为( x1， y1)、( x2， y2)，则依题意，得 (2,2)， (2,3)， (4，1) B ，A 13AC (23， 23) . 13 C ( 23， 1) ( x1， y1)(1,0) ，A (23， 23)( x2， y2)(3，1) .(4 ( 23， 1)分)( x1， y1) (1,0)(23， 23) ，(13， 23)(x2， y2) (3，1) .(23， 1) (73， 0) ( x2， y2)( x1， y1) .(8 (83， 23)分)9又 (4，1)，4 (1) 0， B ( 23) 83 .(12 B 分)10证明 m n， acos B bcos A.由正弦定理，得 sin Acos Bsin Bcos A，即 sin(A B)0. A、 B 为三角形的内角， A B. A B.(5分) p29，8sin 2 4sin 2A9.B C241cos( B C)4(1cos 2A)9.4cos 2A4cos A10，解得 cos A .(1012分)又0 A， A . 3 ABC 为等边三角形(12 分)11解