1等比数列及其前 n项和导学目标： 1.理解等比数列的概念.2.掌握等比数列的通项公式与前 n项和公式.3.了解等比数列与指数函数的关系.4.能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用等比数列的有关知识解决相应的问题自主梳理1等比数列的定义如果一个数列从第 2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零)，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的_，通常用字母_表示(q0)2等比数列的通项公式设等比数列 an的首项为 a1，公比为 q，则它的通项 an_.3等比中项：如果在 a与 b中间插入一个数 G，使 a， G， b成等比数列，那么 G叫做 a与 b的等比中项4等比数列的常用性质(1)通项公式的推广： an am_ (n， mN *)(2)若 an为等比数列，且 k l m n (k， l， m， nN *)，则_(3)若 an， bn(项数相同)是等比数列，则 a n ( 0)， ， a ， anbn，1an 2n仍是等比数列anbn(4)单调性：Error!或Error! an是_数列；Error!或Error! an是_数列； q1 an是_数列； q1，令 bn an1 (n1,2，)，若数列 bn有连续四项在集合53，23,19,37,82中，则 6q_.探究点一等比数列的基本量运算例 1已知正项等比数列 an中， a1a52 a2a6 a3a7100， a2a42 a3a5 a4a636，求数列 an的通项 an和前 n项和 Sn.变式迁移 1在等比数列 an中， a1 an66， a2an1 128， Sn126，求 n和 q.探究点二等比数列的判定例 2(2011岳阳月考)已知数列 an的首项 a15，前 n项和为 Sn，且Sn1 2 Sn n5， nN *.(1)证明数列 an1是等比数列；(2)求 an的通项公式以及 Sn.变式迁移 2设数列 an的前 n项和为 Sn，已知 a12 a23 a3 nan( n1)Sn2 n(nN *)(1)求 a2， a3的值；(2)求证：数列 Sn2是等比数列探究点三等比数列性质的应用例 3(2011湛江月考)在等比数列 an中， a1 a2 a3 a4 a58，且 2，求 a3.1a1 1a2 1a3 1a4 1a5变式迁移 3(1)已知等比数列 an中，有 a3a114 a7，数列 bn是等差数列，且b7 a7，求 b5 b9的值；(2)在等比数列 an中，若 a1a2a3a41， a13a14a15a168，求 a41a42a43a44.3分类讨论思想与整体思想的应用例 (12 分)设首项为正数的等比数列 an的前 n项和为 80，它的前 2n项和为 6 560，且前 n项中数值最大的项为 54，求此数列的第 2n项【答题模板】解设数列 an的公比为 q，若 q1，则 Sn na1， S2n2 na12 Sn. S2n6 5602 Sn160， q1，2 分由题意得Error!4 分将整体代入得 80(1 qn)6 560， qn81.6 分将 qn81 代入得 a1(181)80(1 q)， a1 q1，由 a10，得 q1，数列 an为递增数列8 分 an a1qn1 qn81 54.a1q a1q .10分a1q 23与 a1 q1 联立可得 a12， q3， a2n23 2n1 (nN *)12 分【突破思维障碍】(1)分类讨论的思想：利用等比数列前 n项和公式时要分公比 q1 和 q1 两种情况讨论；研究等比数列的单调性时应进行讨论：当 a10， q1或 a11或 a10,00且 q1)常和指数函a1q数相联系(3)整体思想：应用等比数列前 n项和时，常把 qn， 当成整体求解a11 q本题条件前 n项中数值最大的项为 54的利用是解决本题的关键，同时将 qn和的值整体代入求解，简化了运算，体现了整体代换的思想，在解决有关数列求a1 1 qn1 q和的题目时应灵活运用1等比数列的通项公式、前 n项公式分别为 an a1qn1 ， SnError!2等比数列的判定方法：(1)定义法：即证明 q (q0， nN *) (q是与 n值无关的常数)an 1an(2)中项法：证明一个数列满足 a anan2 (nN *且 anan1 an2 0)2n 13等比数列的性质：(1)an amqn m (n， mN *)；(2)若 an为等比数列，且 k l m n (k， l， m， nN *)，则 akal aman；(3)设公比不为1 的等比数列 an的前 n项和为 Sn，则 Sn， S2n Sn， S3n S2n仍成等比数列，其公比为 qn.4在利用等比数列前 n项和公式时，一定要对公比 q1 或 q1 作出判断；计算过程中要注意整体代入的思想方法5等差数列与等比数列的关系是：4(1)若一个数列既是等差数列，又是等比数列，则此数列是非零常数列；(2)若 an是等比数列，且 an0，则lg an构成等差数列 (满分：75 分)一、选择题(每小题 5分，共 25分)1(2010辽宁)设 an是由正数组成的等比数列， Sn为其前 n项和已知a2a41， S37，则 S5等于 ()A. B. C. D.152 314 334 1722(2010浙江)设 Sn为等比数列 an的前 n项和，8 a2 a50，则 等于 S5S2()A11 B8 C5 D113在各项都为正数的等比数列 an中， a13，前三项的和 S321，则 a3 a4 a5等于()A33 B72 C84 D1894等比数列 an前 n项的积为 Tn，若 a3a6a18是一个确定的常数，那么数列T10， T13， T17， T25中也是常数的项是 ()A T10 B T13 C T17 D T255(2011佛山模拟)记等比数列 an的前 n项和为 Sn，若 S32， S618，则 等于S10S5()A3 B5 C31 D33题号 1 2 3 4 5答案二、填空题(每小题 4分，共 12分)6设 an是公比为正数的等比数列，若 a11， a516，则数列 an前 7项的和为_7(2011平顶山月考)在等比数列 an中，公比 q2，前 99项的和 S9930，则a3 a6 a9 a99_.8(2010福建)在等比数列 an中，若公比 q4，且前 3项之和等于 21，则该数列的通项公式 an_.三、解答题(共 38分)9(12 分)(2010陕西)已知 an是公差不为零的等差数列， a11，且 a1， a3， a9成等比数列(1)求数列 an的通项；(2)求数列2 an的前 n项和 Sn.10(12 分)(2011廊坊模拟)已知数列log 2(an1)为等差数列，且 a13， a25.(1)求证：数列 an1是等比数列；(2)求 的值1a2 a1 1a3 a2 1an 1 an511(14 分)已知等差数列 an的首项 a11，公差 d0，且第 2项、第 5项、第 14项分别是等比数列 bn的第 2项、第 3项、第 4项(1)求数列 an与 bn的通项公式；(2)设数列 cn对 nN *均有 an1 成立，求 c1 c2 c3 c2 010.c1b1 c2b2 cnbn答案 自主梳理1公比 q2. a1qn1 4.(1) qn m(2) akal aman(4)递增递减常摆动6. qn自我检测1D2.B3.B4.C5.9课堂活动区例 1解题导引(1)在等比数列的通项公式和前 n项和公式中共有 a1， an， q， n， Sn五个量，知道其中任意三个量，都可以求出其余两个量解题时，将已知条件转化为基本量间的关系，然后利用方程组的思想求解；(2)本例可将所有项都用 a1和 q表示，转化为关于 a1和 q的方程组求解；也可利用等比数列的性质来转化，两种方法目的都是消元转化解方法一由已知得：Error!Error!，得 4a q664， a q616.21 21代入，得 21616 q2100.16q2解得 q24 或 q2 .14又数列 an为正项数列， q2 或 .12当 q2 时，可得 a1 ，12 an 2n1 2 n2 ，12Sn 2 n1 ；12(1 2n)1 2 12当 q 时，可得 a132.12 an32 n1 2 6 n.(12)Sn 642 6 n.321 (12)n1 12方法二 a1a5 a2a4 a ， a2a6 a3a5， a3a7 a4a6 a ，23 25由Error!可得Error!即Error!6Error! 解得Error!或Error!当 a38， a52 时， q2 .a5a3 28 14 q0， q ，由 a3 a1q28，12得 a132， an32 n1 2 6 n.(12)Sn 642 6 n.32 26 n121 12当 a32， a58 时， q2 4，且 q0，82 q2.由 a3 a1q2，得 a1 .24 12 an 2n1 2 n2 .12Sn 2 n1 .12(2n 1)2 1 12变式迁移 1解由题意得Error!解得Error! 或Error!若Error! 则 Sn 126，a1 anq1 q 64 2q1 q解得 q ，此时， an264 n1 ，12 (12) n6.若Error! 则 Sn 126， q2.2 64q1 q an6422 n1 . n6.综上 n6， q2 或 .12例 2解题导引(1)证明数列是等比数列的两个基本方法： q (q为与 n值无关的常数)( nN *)an 1an a anan2 (an0， nN *)2n 1(2)证明数列不是等比数列，可以通过具体的三个连续项不成等比数列来证明，也可用反证法(1)证明由已知 Sn1 2 Sn n5， nN *，可得 n2 时， Sn2 Sn1 n4，两式相减得 Sn1 Sn2( Sn Sn1