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1第 4 讲 指数与指数函数一、选择题1函数 y a|x|(a1)的图像是()解析 y a|x|Error! 当 x0 时,与指数函数 y ax(a1)的图像相同;当 x1, b0,且 ab a b2 ,则 ab a b的值为()2A. B2 或26C2 D2解析 ( ab a b)28 a2b a2 b6,( ab a b)2 a2b a2 b24.又 aba b(a1, b0), ab a b2.答案 D6若函数 f(x)( k1) ax a x(a0 且 a1)在 R 上既是奇函数,又是减函数,则 g(x)log a(x k)的图象是下图中的 ()解析函数 f(x)( k1) ax a x为奇函数,则 f(0)0,即( k1) a0 a00,解得k2,所以 f(x) ax a x,又 f(x) ax a x为减函数,故 00,且 a1)有两个零点,则实数 a 的取值范围是_解析令 ax x a0 即 ax x a,若 01, y ax与 y x a 的图象如图所示答案(1,)10已知 f(x) x2, g(x) x m,若对 x11,3, x20,2, f(x1) g(x2),则(12)实数 m 的取值范围是_解析 x11,3时, f(x1)0,9, x20,2时, g(x2) ,即(12)2 m, (12)0 mg(x2) ,要使 x11,3, x20,2, f(x1) g(x2),只需 f(x)14 m, 1 mmin g(x)min,即 0 m,故 m .14 14答案 14, )三、解答题11已知函数 f(x) .2x 12x 1(1)判断函数 f(x)的奇偶性;(2)求证 f(x)在 R 上为增函数(1)解因为函数 f(x)的定义域为 R,且 f(x) 1 ,所以 f( x) f(x)2x 12x 1 22x 1 2 2 2(122 x 1) (1 22x 1) ( 22x 1 22 x 1) ( 22x 1 22x2x 1)220,即 f( x) f(x),所以 f(x)是奇函数2 2x 12x 1(2)证明设 x1, x2R,且 x10,2 x210, f(x1)0, a1)的图象经过点 A(1,6),B(3,24)(1)求 f(x);(2)若不等式( )x( )x m0 在 x(,1时恒成立,求实数 m 的取值范围1a 1b解析 (1)把 A(1,6), B(3,24)代入 f(x) bax,得Error!结合 a0 且 a1,解得Error! f(x)32 x.(2)要使( )x( )x m 在(,1上恒成立,12 13只需保证函数 y( )x( )x在(,1上的最小值不小于 m 即可12 13函数 y( )x( )x在(,1上为减函数,12 13当 x1 时, y( )x( )x有最小值 .12 13 56只需 m 即可56 m 的取值范围(, 5613已知函数 f(x) ax24 x3.(13)(1)若 a1,求 f(x)的单调区间;(2)若 f(x)有最大值 3,求 a 的值解析 (1)当 a1 时, f(x) x24 x3,(13)令 t x24 x3,由于 t(x)在(,2)上单调递增,在2,)上单调递减,而 y t在 R 上单调递减,(13)所以 f(x)在(,2)上单调递减,在2,)上单调递增,即函数 f(x)的递增区间是2,),递减区间是(,2)(2)令 h(x) ax24 x3, f(x) h(x),(13)由于 f(x)有最大值 3,所以 h(x)应有最小值1,因此必有Error!解得 a1.即当 f(x)有最大值 3 时, a 的值等于 1.14已知定义在 R 上的函数 f(x)2 x .12|x|(1)若 f(x) ,求 x 的值;325(2)若 2tf(2t) mf(t)0 对于 t1,2恒成立,求实数 m 的取值范围解(1)当 x0, x1.(2)当 t1,2时,2 t m 0,(22t122t) (2t 12t)即 m(22t1)(2 4t1),2 2t10, m(2 2t1), t1,2,(2 2t1)17,5,故 m 的取值范围是5,)
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