第5节 数系的扩充与复数的引入 最新考纲 1 理解复数的基本概念 2 理解复数相等的充要条 件 3 了解复数的代数表示法及其几何意义 4 会进行复数代 数形式的四则运算 5 了解复数代数形式的加 减运算的几何 意义 1 复数的有关概念 知 识 梳 理 内容意义备注 复数的 概念 形如a bi a R b R 的数叫复数 其中实部 为 虚部为 若b 0 则a bi为实 数 若a 0且b 0 则 a bi为纯虚数 复数相 等 a bi c di a b c d R ab a c且b d a c且b d x轴 Z a b 1 思考辨析 在括号内打 或 1 复数z a bi a b R 中 虚部为bi 2 复数中有相等复数的概念 因此复数可以比较大小 3 原点是实轴与虚轴的交点 4 复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距 离 也就是复数对应的向量的模 解析 1 虚部为b 2 虚数不可以比较大小 答案 1 2 3 4 诊 断 自 测 2 2016 全国 卷 设 1 2i a i 的实部与虚部相等 其中a为 实数 则a A 3 B 2 C 2 D 3 解析 因为 1 2i a i a 2 2a 1 i 所以a 2 2a 1 解得a 3 答案 A 3 2017 全国 卷 复平面内表示复数z i 2 i 的点位于 A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限 解析 由题意 得z 1 2i 其在复平面内所对应的点位 于第三象限 答案 C 4 2017 江苏卷 已知复数z 1 i 1 2i 其中i是虚数单位 则z的模是 答案 2 i 考点一 复数的有关概念 例1 1 2017 全国 卷 下列各式的运算结果为纯虚数的是 A i 1 i 2 B i2 1 i C 1 i 2 D i 1 i 答案 1 C 2 C 3 A 规律方法 1 复数的分类及对应点的位置都可以转化为复数的 实部与虚部应该满足的条件问题 只需把复数化为代数形式 列出实部和虚部满足的方程 不等式 组即可 2 解题时一定要先看复数是否为a bi a b R 的形式 以确 定实部和虚部 p2 若z2 1 满足z2 R 而z i 不满足z R 故p2不正 确 p3 若z1 1 z2 2 则z1z2 2 满足z1z2 R 而它们实部不 相等 不是共轭复数 故p3不正确 p4 因复数z R 所以z的虚部为0 所以它的共轭复数是它 本身 也属于实数 故p4正确 答案 1 D 2 B 考点二 复数的几何意义 例2 1 复数z i 1 i 在复平面内所对应点的坐标为 A 1 1 B 1 1 C 1 1 D 1 1 2 2017 北京卷 若复数 1 i a i 在复平面内对应的点在 第二象限 则实数a的取值范围是 A 1 B 1 C 1 D 1 答案 1 D 2 B A E B F C G D H 2 2016 北京卷 设a R 若复数 1 i a i 在复平面内对 应的点位于实轴上 则a 答案 1 D 2 1 答案 1 D 2 D 3 B 规律方法 复数的加法 减法 乘法运算可以类比多项式运 算 除法关键是分子分母同乘以分母的共轭复数 注意要把i 的幂写成最简形式 答案 1 A 2 1 i