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2019年高中数学 第一章 导数及其应用 1.4 生活中的优化问题举例学业分层测评(含解析)新人教A版选修2-2一、选择题1某工厂要围建一个面积为512平方米的矩形堆料场,一边可以利用原有的墙壁,其他三边需要砌新的墙壁,若使砌壁所用的材料最省,堆料场的长和宽应分别为(单位:米)()A32,16B30,15C40,20D36,18【解析】要使材料最省,则要求新砌的墙壁的总长最短,设场地宽为x米,则长为米,因此新墙总长L2x(x0),则L2.令L0,得x16或x16(舍去)此时长为32(米),可使L最短【答案】A2将8分为两个非负数之和,使两个非负数的立方和最小,则应分为()A2和6B4和4C3和5D以上都不对【解析】设一个数为x,则另一个数为8x,则其立方和yx3(8x)383192x24x2(0x8),y48x192.令y0,即48x1920,解得x4.当0x4时,y0;当40.所以当x4时,y最小【答案】B3内接于半径为R的半圆的周长最大的矩形的宽和长分别为() A.和RB.R和RC.R和RD以上都不对【解析】设矩形的宽为x,则长为2,则l2x4(0xR),l2,令l0,解得x1R,x2R(舍去)当0x0;当RxR时,l0,所以当xR时,l取最大值,即周长最大的矩形的宽和长分别为R,R.【答案】B4某公司生产某种产品,固定成本为20 000元,每生产一单位产品,成本增加100元,已知总营业收入R与年产量x的关系是R(x)则总利润最大时,每年生产的产品是()A100 B150C200D300【解析】由题意,得总成本函数为C(x)20 000100x,总利润P(x)R(x)C(x)所以P(x)令P(x)0,得x300,易知x300时,总利润P(x)最大【答案】D5用长为90 cm,宽为48 cm的长方形铁皮做一个无盖的容器,先在四角分别截去一个大小相同的小正方形,然后把四边翻转90角,再焊接而成(如图144),当容器的体积最大时,该容器的高为()图144A8 cm B9 cmC10 cmD12 cm【解析】设容器的高为x cm,容器的体积为V(x)cm3,则V(x)(902x)(482x)x4x3276x24 320x(0x24),因为V(x)12x2552x4 320,由12x2552x4 3200,得x10或x36(舍),因为当0x0,当10x24时,V(x)0),所以y2,令y0,解得x200(x200舍去),这时y800.当0x200时,y200时,y0.所以当x200时,y取得最小值,故其周长至少为800米【答案】8007已知矩形的两个顶点A、D位于x轴上,另两个顶点B、C位于抛物线y4x2在x轴上方的曲线上,则这个矩形的面积最大时的边长为_【解析】由题意,设矩形边长AD2x,则AB4x2,矩形面积为S2x(4x2)8x2x3(0x2)S86x2.令S0,解得x1 ,x2 (舍去)当0x0;当 x2时,S0)所以yx.令y0,解得x20.因为当x(0,20)时,y0,此时函数单调递增,所以当x20时,y取得最小值,即此轮船以20 km/h的速度行驶时,每千米的费用总和最小【答案】20三、解答题9如图145,一矩形铁皮的长为8 cm,宽为5 cm,在四个角上截去四个相同的小正方形,制成一个无盖的小盒子,问小正方形的边长为多少时,盒子容积最大?图145【解】 设小正方形的边长为x cm,则盒子底面长为(82x) cm,宽为(52x) cm,V(82x)(52x)x4x326x240x,V12x252x40,令V0,得x1或x(舍去),V极大值V(1)18,在定义域内仅有一个极大值,所以V最大值18,即当小正方形的边长为1 cm时,盒子容积最大10(xx银川高二检测)一书店预计一年内要销售某种书15万册,欲分几次订货,如果每次订货要付手续费30元,每千册书存放一年要库存费40元,并假设该书均匀投放市场,问此书店分几次进货、每次进多少册,可使所付的手续费与库存费之和最少?【解】设每次进书x千册(0x0,右侧L(p)0,所以L(30)是极大值,根据实际问题的意义知,L(30)是最大值,即零售价定为每件30元时,最大毛利润为23 000元【答案】D2要做一个圆锥形的漏斗,其母线长为20 cm,要使体积最大,则其高应为()A. cm B. mC5 m D. m【解析】如图,设圆锥底面半径为r,高为h,则h2r2202.所以r,所以圆锥体积Vr2h(400h2)h(400hh3),所以V(4003h2),令V0,得h或h(舍去)当0h0;当h时,V0,f(x)单调递增,x时,f(x)0,f(x)单调递减,故当x时,f(x)取最大值.【答案】4(xx广州高二检测)如图147所示,有甲、乙两个工厂,甲厂位于一直线海岸的岸边A处,乙厂与甲厂在海的同侧,乙厂位于离海岸40 km的B处,乙厂到海岸的垂足D与A相距50 km.两厂要在此岸边A,D之间合建一个供水站C,从供水站到甲厂和乙厂的水管费用分别为每千米3a元和5a元,则供水站C建在何处才能使水管费用最省?图147【解】设C点距D点x km,则AC50x(km),所以BC(km)又设总的水管费用为y元,依题意,得y3a(50x)5a(0x50)y3a.令y0,解得x30.在(0,50)上,y只有一个极小值点,根据问题的实际意义,函数在x30 km处取得最小值,此时AC50x20(km)故供水站建在A,D之间距甲厂20 km处,可使水管费用最省.
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