1 大学数学实验大学数学实验 Experiments in Mathematics 实验3 插值与数值积分实验3 插值与数值积分 清 华 大 学 数 学 科 学 系清 华 大 学 数 学 科 学 系 实验3的基本内容实验3的基本内容 3 数值积分的梯形公式 辛普森公式和高斯公式 1 插值的基本原理 三种插值方法 拉格朗日插 值 分段线性 插值 三次样条插值 2 插值的 3 数值积分的梯形公式 辛普森公式和高斯公式 1 插值的基本原理 三种插值方法 拉格朗日插 值 分段线性 插值 三次样条插值 2 插值的 MATLAB 实现及插值的应用 4 数值积分的 实现及插值的应用 4 数值积分的 MATLAB 实现及数值积分的应用 实现及数值积分的应用 什么是插值 从查函数表说起 查函数表查函数表 xt dtex 2 2 2 1 x 012 1 0 0 8413 0 8438 0 8461 1 1 0 8643 0 8665 0 8686 1 2 0 8849 0 8869 0 8888 标准正态分布函数表标准正态分布函数表 求 求 1 114 1 114 0 8665 0 8686 0 8665 0 4 0 8673 插 值 插 值 插值的基本原理插值的基本原理 插值问题的提法插值问题的提法 已知 n 1个节点已知 n 1个节点 1 0 njyx jj L 其中其中 j x 互不相同 不妨设互不相同 不妨设 10 bxxxa n L 求任一插值点求任一插值点 j xx 处的插值处的插值 y 0 x 1 x n x 0 y 1 y 节点可视为由节点可视为由 xgy 产生产生 g表达式复杂表达式复杂 甚至无表达式甚至无表达式 x y 0 x 1 x n x 0 y 1 y 求解插值问题的基本思路求解插值问题的基本思路 构造一个 相对简单的 函数构造一个 相对简单的 函数 xfy 通过全部节点 即通过全部节点 即 1 0 njyxf jj L 再用再用 xf计算插值 即计算插值 即 xfy x y 插值的 基本原理 插值的 基本原理 1 拉格朗日 Lagrange 多项式插值1 拉格朗日 Lagrange 多项式插值 1 0 插值多项式1 0 插值多项式 1 01 1 1 axaxaxaxL n n n nn L n n n n n n nn y y Y a a A xx xx XMM L L L 0 0 1 1 00 1 1 在什么条件下 0 det XQ 1 0 njyxL jjn L 2 YXA 求 i a 三种插值 方法 三种插值 方法 有唯一解 2 2 1 1 拉格朗日插值多项式1 1 拉格朗日插值多项式 ni xxxxxxxx xxxxxxxx xl niiiiii nii i L LL LL 1 0 110 110 3 0 xlyxL i n i in jjnji yxL ji ji xl 0 1 Q 又 又 2 有唯一解 故 有唯一解 故 3 与 与 1 相同 相同 基函数 i lx 1 01 1 1 axaxaxaxL n n n nn L 2 YXA 三种插值 方法 三种插值 方法 1 0 1 baxx n g xLxgxR n j j n nn 1 1 n n Mg 减小 粗略地看 如何使误差 xRn 平缓g j xx 接近 n j j n n xx n M xR 0 1 1 三种插值 方法 三种插值 方法 1 2 误差估计1 2 误差估计 增加n 1 3 拉格朗日插值多项式的振荡1 3 拉格朗日插值多项式的振荡 xRxLn nn 55 1 1 2 x x xg 63 363 3 lim xxgxLn n Runge现象现象 取n 2 4 6 8 10 计 算Ln x 画出图形 505 1 5 1 0 5 0 0 5 1 1 5 2 y 1 1 x2 n 2 n 4 n 6 n 8 n 1 0 三种插值 方法 三种插值 方法 Matlab lnk Runge m 2 分段线性插值2 分段线性插值 xjxj 1xj 1x0 xn 其它 0 1 1 1 1 1 1 0 jj jj j jj jj j j n j jjn xxx xx xx xxx xx xx xl xlyxI 计算量与n无关 n越大 误差越小 计算量与n无关 n越大 误差越小 nn n xxxxgxI 0 lim 三种插值 方法 三种插值 方法 机翼下轮廓 线 3 三次样条插值3 三次样条插值 样条函数的由来样条函数的由来 飞机 船体 汽车外形等的放样 设计 飞机 船体 汽车外形等的放样 设计 细木条 样条细木条 样条 3 三次样条插值3 三次样条插值 1 1 nixxxxsxS iii L 3 1 0 2 1 1 0 2 23 n ii iiiii xxCxS niyxS nidxcxbxaxs L L 数学样条 数学样条 spline iiii dcba n 4 个待定系数 3 1 1 1 11 nixsxs xsxsxsxs iiii iiiiiiii 3 2 3 共 4n 2个方程 三种插值 方法 三种插值 方法 3 自然边界条件 0 4 0 n xSxS 4 3 2xSdcba iiii 三次样条插值确定4n个系数需增加 2个条件三次样条插值确定4n个系数需增加 2个条件 思考 1 自然边界条件的几何意义是什么 2 样条插值为什么普遍用3次多项式 而不是2或4次 三次样条 插值 三次样条 插值 limxgxS n 三种插值方法小结三种插值方法小结 拉格朗日插值 高次多项式插值 曲线光滑 误差估计有表达式 收敛性 不能保证 振荡现象 拉格朗日插值 高次多项式插值 曲线光滑 误差估计有表达式 收敛性 不能保证 振荡现象 用于理论分析 实际意义不大 用于理论分析 实际意义不大 分段线性和三次样条插值 低次多项式插值 曲线不光滑 三次样条插值已大有改进 误差估 计较难 对三次样条插值 收敛性有保证 分段线性和三次样条插值 低次多项式插值 曲线不光滑 三次样条插值已大有改进 误差估 计较难 对三次样条插值 收敛性有保证 简单实用 应用广泛简单实用 应用广泛 1 拉格朗日插值 自编程序 如名为1 拉格朗日插值 自编程序 如名为 lagr m 的的M文件 第一行为 文件 第一行为 function y lagr x0 y0 x 输入 节点输入 节点x0 y0 插值点插值点x 均为数组 长度自定义 输出 插值 均为数组 长度自定义 输出 插值y 与 与x同长度数组 应用时输入 同长度数组 应用时输入x0 y0 x后 运行后 运行 y lagr x0 y0 x 2 分段线性插值 已有程序2 分段线性插值 已有程序y interp1 x0 y0 x 3 三次样条插值 已有程序3 三次样条插值 已有程序 y interp1 x0 y0 x spline 或或y spline x0 y0 x 用MATLAB作插值计算 注 注 lagr m 程序可参考课本 程序可参考课本 MATLAB有样条工具箱 有样条工具箱 Spline Toolbox 用MATLAB作插值计算 55 1 1 2 x x xg为例 作三种插值的比较以为例 作三种插值的比较以 0 1 0000 1 00001 00001 0000 0 5000 0 8000 0 8434 0 7500 0 8205 1 0000 0 5000 0 50000 50000 5000 1 5000 0 3077 0 2353 0 3500 0 2973 2 0000 0 2000 0 20000 20000 2000 2 5000 0 1379 0 2538 0 1500 0 1401 3 0000 0 1000 0 10000 10000 1000 3 5000 0 0755 0 2262 0 0794 0 0745 4 0000 0 0588 0 05880 05880 0588 4 5000 0 0471 1 5787 0 0486 0 0484 5 0000 0 0385 0 03850 03850 0385 x y y1 y2 y3 用n 11个节 点 m 21个 插值点 三 种方法作插 值 画图 Matlab lnk chazhi1 插值的应用插值的应用 加工时需要加工时需要x每 改变 每 改变0 05时的时的y值值 MATLAB 5 3 lnk chazhi2 图1 零件的轮廓线 x间隔0 2 表1 x间隔0 2的加工坐标x y 图1右半部的数据 数控机床加工零件数控机床加工零件 2 6 0 642 4 0 742 2 0 862 0 1 00 1 8 1 181 6 1 401 4 1 691 2 2 051 0 2 50 0 8 3 050 6 3 680 4 4 310 2 4 710 0 5 00 模型模型 将图1逆时针方向转90度 轮廓线上下 对称 只需对上半部计算一个函数在插值点 的值 图2 逆时针方向转90度的结果 5 4 3 2 1012345 0 0 5 1 1 5 2 2 5 3 3 5 4 4 5 5 u v 令v x u y 为什么要作数值积分为什么要作数值积分 许多函数 积不出来 只能用数值方法 如许多函数 积不出来 只能用数值方法 如 dx x x dxe b a b a x sin 2 2 积分是重要的数学工具 是微分方程 概率 论等的基础 在实际问题中有直接应用 积分是重要的数学工具 是微分方程 概率 论等的基础 在实际问题中有直接应用 对于用离散数据或者图形表示的函数对于用离散数据或者图形表示的函数 计算积分只有求助于数值方法 计算积分只有求助于数值方法 数值 积分 数值 积分 4 n ab fIIdxxfI n k knn n b a lim 1 数 值 积 分 的 基 本 思 路数 值 积 分 的 基 本 思 路 回 忆 定 积 分 的 定 义回 忆 定 积 分 的 定 义 各种数值积分方法研究的是各种数值积分方法研究的是 k ba如何取值 区间如何划分 使得既能保证一定精度 计算量又小 如何取值 区间如何划分 使得既能保证一定精度 计算量又小 n n充分大时充分大时I In n就是就是I I的数值积分的数值积分 1 1 从矩形公式到梯形公式数值积分数值积分 y y f x xb a o 1 1 0 n k kn fhL 10 kk nk xff n ab h bxxxxa LL 2 1 n k kn fhR nn RL 平均 得到 梯形公式 3 2 0 1 1 n n k kn ff h fhT xk 1xkxk 1 fk 2 辛普森 Simpson 公式 抛物线公式 2 辛普森 Simpson 公式 抛物线公式 梯形公式相当于用分段线性插值函数分段线性插值函数代替 xf 每段要用相邻两小区间 端点的三个函数值 两小区间 端点的三个函数值 抛物线 公式 抛物线 公式 提高精度提高精度 分段二次插值函数分段二次插值函数 2221212222 0 1 1 kkkkkk xfxfxf km L 数值积分数值积分 y y f x xb a o x2k f2k x2k 1x2k 2 f2k 1 f2k 2 区间数必须为偶数区间数必须为偶数 mn2 4 2 24 3 1 1 2 1 0 1220 m ab hffff h S m k k m k kmm 对对k求和求和 共共m段 得段 得辛普森公式辛普森公式 4 3 22122 22 2 kkk x x k fff h dxxs k k 二次插值函数sk x 构造用 2222121222 kkkkkk fxfxfx 2 辛普森 Simpson 公式 抛物线公式 2 辛普森 Simpson 公式 抛物线公式 b a nn TdxxfTfR 梯形公式在每小段上是用梯形公式在每小段上是用线性插值函数线性插值函数T T x 代替 代替 f x 2 11 kkkkk k xxxxxxx f xTxf 梯形公式梯形公式 的误差估