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嘉定区2019学年高三年级第一次质量调研数学试卷一填空题(本大题共有12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分)考生应在答题纸的相关位置直接填写结果。1.已知集合,则 2.方程的解为 3. 行列式 的值为_.4. 计算:。5. 若圆锥的侧面面积为2,底面面积为,则该圆锥的母线长为 6. 己知向量,则= 72名女生和3名男生排成一排,则2名女生不相邻的排法共有 种。8已知点在角的终边上,且,则 。9近年来,人们的支付方式发生了巨大转变,使用移动支付购买商品已成为一部分人的消费习惯.某企业为了解该企业员工上个月A、B两种移动支付方式的使用情况,从全体员工中随机抽取了100人作为样本,发现样本中A、B两种支付方式都没有使用过的有5人,使用了A,B两种方式支付的员工,支付金额和相应人数分布情况如下 支付金额(元)支付方式大于2000使用A18人29人23人使用B10人24人21人依据以上数据:若从该公司随机抽取1名员工,则该员工在上个月A、B两种支付方式都使用过的概率为 10已知非零向量两两不平行,且,设 11已知数列满足:,记数列得前项和为,若对所有满足条件的数列,的最大值为M.最小值为m,则M+m 12.已知函数若对任意实数,关于的不等式在区间上总有解,则实数的取值范围为 二、选择题(本大题共有4题,满分20分,每题5分)每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置,将代表正确选项的小方格涂黑.13.已知,则“”是“”的( )A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件 D.既非充分又非必要条件14.下列函数中,值域为的是( )A. B. C. D. 15. 已知正方体,点是棱的中点,设直线为,直线为.对于下列两个命题:过点有且只有一条直线与都相交;过点有且只有一条直线与所成的角都为.以下判断正确的是( )A. 为真命题,为真命题; B. 为真命题,为假命题;C. 为假命题,为真命题;D. 为假命题,为假命题;16. 某港口某天0时至24时的水深(米)随时间(时)变化曲线近似满足如下函数模型:.若该港口在该天0时至24时内,有且只有3个时刻水深为3米,则该港口该天水最深的时刻不可能为( )A.16时 B.17时 C.18时 D.19时三、解答题(本大题共有5题,满分76分)解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤。17、(本题满分14分,第一小题满分6分,第二小问满分8分)如图,底面为矩形的直棱柱满足:,。(1) 求直线和平面所成的角的大小;(2) 设分别为棱上的动点,求证:三棱锥的体积为定值,并求出该值。18.(本题满分14分,第1小题满分6分,第2小题满分8分)在复平面内复数所对应的点为,为坐标原点,是虚数单位. ,计算与; 设,,求证:,并指出向量、满足什么条件时取等号19. (本题满分14分,第一小题6分,第二小题8分)如图,某城市有一矩形街心广场ABCD,其中百米,百米。现将挖掘一个三角形水池种植荷花,其中点在边上,点在边上,要求.(1) 若百米,判断是否符合要求,并说明理由;(2) 设,求的面积关于的表达式,并求出的最小值。20.(本题满分16分,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分6分)已知数列各项均为正数,为其前项的和,且,成等差数列.(1)写出、的值,猜想数列的通项公式;(2)证明你在(1)中猜想的结论;(3)设,为数列的前项和.若对于任意,都有,求实数的值.21.(本题满分18分,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分8分)已知函数,其中为常数.(1)当时,解不等式;(2)已知是以为为周期的偶函数,且当时,有.若,且,求函数的反函数;(3)若在上存在个不同的点,使得,求实数的取值范围.嘉定区2019学年高三年级第一次质量调研数学试卷一填空题(本大题共有12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分)考生应在答题纸的相关位置直接填写结果。1.已知集合,则 【答案】【解析】本题考察了集合的交集2.方程的解为 【答案】【解析】本题考察了对数的概念5. 行列式 的值为_.【答案】7【解析】行列式的化简, =6. 计算:。【答案】2【解析】极限化简7. 若圆锥的侧面面积为2,底面面积为,则该圆锥的母线长为 【答案】2【解析】底面圆面积为,底面半径为1,底面周长为2,且侧面面积为8. 己知向量,则= 【答案】【解析】向量的夹角公式,72名女生和3名男生排成一排,则2名女生不相邻的排法共有 种。【答案】72【解析】女生不相邻则采用“插空法”,先排男生共种,共四个空位,再从中选两个空位,则共有72种。8已知点在角的终边上,且,则 。【答案】【解析】因为,所以,因为点在角的终边上,所以,所以,则 9近年来,人们的支付方式发生了巨大转变,使用移动支付购买商品已成为一部分人的消费习惯.某企业为了解该企业员工上个月A、B两种移动支付方式的使用情况,从全体员工中随机抽取了100人作为样本,发现样本中A、B两种支付方式都没有使用过的有5人,使用了A,B两种方式支付的员工,支付金额和相应人数分布情况如下 支付金额(元)支付方式大于2000使用A18人29人23人使用B10人24人21人依据以上数据:若从该公司随机抽取1名员工,则该员工在上个月A、B两种支付方式都使用过的概率为 【答案】【解析】使用过A支付方式的人有70人,使用过B支付方式的人有55人,A和B都没有使用过的5人,那么A和B支付方式都是用过的有人,只是使用过A支付方式的有40人,只是使用B支付方式的有25人,10已知非零向量两两不平行,且,设 【答案】-3【解析】由题意得即,;即 11已知数列满足:,记数列得前项和为,若对所有满足条件的数列,的最大值为M.最小值为m,则M+m 【答案】1078【解析】,可知一定是单调递增数列,则,即,当取最小值此时 当时,取最大值此时 12.已知函数若对任意实数,关于的不等式在区间上总有解,则实数的取值范围为 【答案】【解析】即:上总有解,即,当在上恒成立,即:,当时,的最大值中取到 ,即综上 二、选择题(本大题共有4题,满分20分,每题5分)每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置,将代表正确选项的小方格涂黑.13.已知,则“”是“”的( )A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件 D.既非充分又非必要条件【答案】B【解析】小范围推大范围14.下列函数中,值域为的是( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】A的值域,B的值域,C的值域,D的值域.17. 已知正方体,点是棱的中点,设直线为,直线为.对于下列两个命题:过点有且只有一条直线与都相交;过点有且只有一条直线与所成的角都为.以下判断正确的是( )E. 为真命题,为真命题; F. 为真命题,为假命题;G. 为假命题,为真命题;H. 为假命题,为假命题;【答案】B【解析】异面直线夹角问题,夹角为,则过点与所有角为的有两条.18. 某港口某天0时至24时的水深(米)随时间(时)变化曲线近似满足如下函数模型:.若该港口在该天0时至24时内,有且只有3个时刻水深为3米,则该港口该天水最深的时刻不可能为( )A.16时 B.17时 C.18时 D.19时【答案】D【解析】, 利用数形结合。三、解答题(本大题共有5题,满分76分)解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤。17、(本题满分14分,第一小题满分6分,第二小问满分8分)如图,底面为矩形的直棱柱满足:,。(3) 求直线和平面所成的角的大小;(4) 设分别为棱上的动点,求证:三棱锥的体积为定值,并求出该值。【答案】(1) (2)定值,【解析】(1)由直棱柱知,所以 又因为,所以直线 所以即直线与平面的所成角 由题意,所以所以直线与平面 的所成角 (2)记点到平面的距离为三角形的面积为,则由已知所以为定值 18.(本题满分14分,第1小题满分6分,第2小题满分8分)在复平面内复数所对应的点为,为坐标原点,是虚数单位. ,计算与; 设,,求证:,并指出向量、满足什么条件时取等号【答案】,【解析】,所以证明:,所以,当时取等,此时20. (本题满分14分,第一小题6分,第二小题8分)如图,某城市有一矩形街心广场ABCD,其中百米,百米。现将挖掘一个三角形水池种植荷花,其中点在边上,点在边上,要求.(3) 若百米,判断是否符合要求,并说明理由;(4) 设,求的面积关于的表达式,并求出的最小值。【答案】(1)不符合 (2)见解析【考点】函数应用【解析】(1)所以不符合要求。(2) 在中,当时,20.(本题满分16分,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分6分)已知数列各项均为正数,为其前项的和,且,成等差数列.(1)写出、的值,猜想数列的通项公式;(2)证明你在(1)中猜想的结论;(3)设,为数列的前项和.若对于任意,都有,求实
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