教学内容教学内容 多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程 多自由度系统的自由振动多自由度系统的自由振动 频率方程的零根和重根情形频率方程的零根和重根情形 多自由度系统的受迫振动多自由度系统的受迫振动 有阻尼的多自由度系统有阻尼的多自由度系统 多自由度系统振动 1 多自由度系统的受迫振动多自由度系统的受迫振动 系统对简谐力激励的响应系统对简谐力激励的响应 动力吸振器动力吸振器 模态叠加法模态叠加法 系统对任意激励力的响应系统对任意激励力的响应 多自由度系统振动 多自由度系统的受迫振动 2 回顾 单自由度系统 系统对简谐力激励的响应 x 为复数变量 分别与 和 相对应 设 复频响 应函数 引入 系统响应 多自由度系统振动 多自由度系统的受迫振动 3 系统对简谐力激励的响应 多自由度系统受到外力激励所产生的运动为受迫运动 设设 n 自由度系统统沿各个广义义坐标标均受到频频率和相位相同的广义义 简谐简谐 力的激励 系统受迫振动方程 实实部和虚部分别为别为 余弦或正弦激励的响应应 外部激励的频频率 广义义激励力的幅值值列阵阵 复数列阵阵 多自由度系统振动 多自由度系统的受迫振动 4 系统受迫振动方程 稳态稳态 解 振幅列向量 简谐激励下 系统稳态响应也为简谐响应 并且振动频率为外 部激励的频率 但是各个自由度上的振幅各不相同 代入 得 记记 多自由度系统的幅频响应矩阵 工程中 阻抗矩阵阵 导纳导纳 矩阵阵 多自由度系统振动 多自由度系统的受迫振动 5 H 的物理意义义 沿 i 坐标的投影式 因此 因此Hij的物理意义为仅义为仅 沿 j 坐标标作用频频率为为w 的单单位幅度简简 谐谐力时时 沿 i 坐标标所引起的受迫振动动的复振幅 多自由度系统振动 多自由度系统的受迫振动 由于 H 含有 系统统的特征方程 因此 当外部激励频频率 接近系统统的任意一个固有频频率时时 都 会使受迫振动动的振幅无限增大 引起振 6 动力吸振器 许多机器或部件由于旋转部分的质量偏心而产生强迫振动 为 减小这种振动有时可以采用动力吸振器 多自由度系统振动 多自由度系统的受迫振动 m x c e M c x M c x e m 回顾 偏心质量系统 等效模型1 等效模型2 主系统 7 动力吸振器 x1 x2 m2 k1 m1 k2c 多自由度系统振动 多自由度系统的受迫振动 c1 x1 k1 m1 主系统固有频率 忽略主系统阻尼 为抑制主系统的振动 在主系统上附加一个弹簧 质量系统 动力吸振器的无 阻尼固有频率 通过调节动力吸振器的参数大小 以达到抑制主系统振动的目的 8 有阻尼的动力吸振器系统 弹簧 k2 m1 k1 主系统的质量和弹簧刚度 阻尼动力吸振器参数 作用有简谐激振力 质量 m2 阻尼 c x1 x2 m2 k1 m1 k2c 多自由度系统振动 多自由度系统的受迫振动 系统的强迫振动方程 主系统参数 9 系统的强迫振动方程 无阻尼动力吸振器 利用直接法 稳态响应振幅 x1 x2 m2 k1 m1 k2c 多自由度系统振动 多自由度系统的受迫振动 主质量振幅 吸振器振幅 10 主系统不再振动 系统的特征多项式 当 时 振 此时吸振器振幅 主系统上受到的激振力恰好被来自吸振器的弹性恢复力平衡 x1 x2 m2 k1 m1 k2 多自由度系统振动 多自由度系统的受迫振动 外部激励频率等于 吸振器的固有频率 11 无阻尼动力吸振器 左图 第一阶模态响应 中间 动力吸振器 右图 第二阶模态响应 多自由度系统振动 多自由度系统的受迫振动 12 吸振器参数 k2 m2 一般选为 当 时 振 记 使吸振器的固有频率和 主系统的固有频率相等 多自由度系统振动 多自由度系统的受迫振动 x1 x2 m2 k1 m1 k2 13 设 是由吸振器和主系统组成的两自由度 系统的固有频率 当 时振 多自由度系统振动 多自由度系统的受迫振动 x1 x2 m2 k1 m1 k2 并记 则由 14 当 时振 代入并设 多自由度系统振动 多自由度系统的受迫振动 x1 x2 m2 k1 m1 k2 主质量静变形 15 当 时振 振点 0123 6 4 2 0 2 4 振点振点 x1 x2 m2 k1 m1 k2 多自由度系统振动 多自由度系统的受迫振动 虽然 出现振 但是在反 振的两旁存在两个 振点 16 振点 0123 6 4 2 0 2 4 振点振点 为了允许激励频率 在 附近有一定范围的变化 s1 s2 应当相距远些 x1 x2 m2 k1 m1 k2 多自由度系统振动 多自由度系统的受迫振动 17 振点 0123 6 4 2 0 2 4 振点振点 00 10 20 30 40 50 60 70 8 0 4 0 6 0 8 1 1 2 1 4 1 6 1 8 2 2 2 2 4 随 变化曲线 当 值较大时 s1 s2 相距较远k2 m2 变大 动力吸振器变得笨拙 措施 采用阻尼动力吸振器 多自由度系统振动 多自由度系统的受迫振动 18 系统的强迫振动方程 有阻尼动力吸振器 采用直接法 稳态响应振幅 复振幅 x1 x2 m2 k1 m1 k2c 多自由度系统振动 多自由度系统的受迫振动 19 稳态响应振幅 复振幅 主系统复振幅 多自由度系统振动 多自由度系统的受迫振动 20 主系统复振幅 取模 得实振幅 引入下列符号 得无量纲表达 多自由度系统振动 多自由度系统的受迫振动 21 0 60 70 80 911 11 21 3 0 2 4 6 8 10 12 14 16 多自由度系统振动 多自由度系统的受迫振动 取 22 0 60 70 80 911 11 21 3 0 2 4 6 8 10 12 14 16 分析 当 时 系统中无阻尼 两个振频率点 s 0 895 1 12 当 s 1 时 振 主系统振幅为零 多自由度系统振动 多自由度系统的受迫振动 取 23 0 60 70 80 911 11 21 3 0 2 4 6 8 10 12 14 16 当 时 系统变成单自由度系统 振点 s 0 976 多自由度系统振动 多自由度系统的受迫振动 取 24 0 60 70 80 911 11 21 3 0 2 4 6 8 10 12 14 16 当 和 时 可见当 s 1 时 主系统振幅并不为零 但 是和无阻尼系统的两个振振幅相比 振振幅明显下降 多自由度系统振动 多自由度系统的受迫振动 取 25 无论阻尼取多少 所有曲线都过 S T 两点 0 60 70 80 911 11 21 3 0 2 4 6 8 10 12 14 16 实际设计有阻尼动力吸振器时 一般选取适当的 m2 与 k2 使曲线在 S 和 T 点有相同的幅值 并且适当选取阻尼 使曲线在 S T 两点具有水平切线 S T 多自由度系统振动 多自由度系统的受迫振动 取 26 模态叠加法 模态叠加法可用于分析多自由度系统的受迫振动 前面讨论讨论 的外部激励为简谐为简谐 激励 因此可采用 直接法进进行求解 当外部激励不是简谐激励时 则不能用直接法 此时可采 用模态叠加法 下面先用模态叠加法对简谐激励的多自由度系统的受迫振 动进行求解 以进一步阐述多自由度系统的振特性 然后采用模态叠加法对任意外部激励时系统的响应进行求解 多自由度系统振动 多自由度系统的受迫振动 27 简谐激励时的情况 n自由度系统 多自由度系统振动 多自由度系统的受迫振动 解释释如下 28 考虑简谐激励时的情况 模态坐标解 激励频频率与第 阶阶固有频频 率 之比 各坐标的受迫振动规律完全类似于单自由度系统的受迫振动规律 多自由度系统振动 多自由度系统的受迫振动 n自由度系统 29 稳态稳态 解 可看出 第 j 阶阶主坐标标的受迫振动动幅度将急剧剧增大 导导致第 j 阶频阶频 率的振 当时时 系统统具有 n 个不相等的固有频频率时时 可以出现现 n 种不同频频 率的振 多自由度系统振动 多自由度系统的受迫振动 n自由度系统 30 例 三自由度系统 求 系统稳态响应 2k mmm k2kk x1x2x3P1 t 多自由度系统振动 多自由度系统的受迫振动 31 2k mmm k2kk x1x2x3P1 t 多自由度系统振动 多自由度系统的受迫振动 解 正则振型矩阵 正则坐标下的激振力 第一个正则方程 同理可解出 32 外部激励 激振频率接近第二阶固有频率 在稳态响应中第二阶振型 占主要成分 2k mmm k2kk x1x2x3P0 t 多自由度系统振动 多自由度系统的受迫振动 33 任意外部激励时的情况 n 自由度系统 正则坐标初始条件 正则则模态态矩阵阵 在得到 后 利用 得出原系统的解 模态广义力 多自由度系统振动 多自由度系统的受迫振动 34 利用主模态坐标求解 模态坐标初始条件 主模态态矩阵阵 在得到 后 利用 得出原系统的解 模态广义力 多自由度系统振动 多自由度系统的受迫振动 n 自由度系统 35 例 教材P100 4 14 在第一个和第四个质量上作用有阶梯力F 零初始条件 求 系统响应 k mmmm kkF t F t 多自由度系统振动 多自由度系统的受迫振动 36 k mmmm kkF t F t 多自由度系统振动 多自由度系统的受迫振动 运动方程是解 37 正则模态矩阵 模态态力 多自由度系统振动 多自由度系统的受迫振动 38 当 i 1 当解为 矩阵形式 多自由度系统振动 多自由度系统的受迫振动 39 原系统响应 多自由度系统振动 多自由度系统的受迫振动 40 教学内容教学内容 多自由度系统的动力学方程多自由度系统的动力学方程 多自由度系统的自由振动多自由度系统的自由振动 频率方程的零根和重根情形频率方程的零根和重根情形 多自由度系统的受迫振动多自由度系统的受迫振动 有阻尼的多自由度系统有阻尼的多自由度系统 多自由度系统振动 41 有阻尼的多自由度系统有阻尼的多自由度系统 多自由度系统的阻尼多自由度系统的阻尼 一般粘性阻尼系统的响应一般粘性阻尼系统的响应 多自由度系统振动 有阻尼的多自由度系统 42 l 多自由度系统的阻尼 实际机械系统中不可避免地存在着阻尼 材料的结构阻尼 介质的粘性阻尼等 阻尼力机理复杂 难以给出恰当的数学表达 在阻尼力较小时 或激励远离系统的固有频率时 可以忽略 阻尼力的存在 近似地当作无阻尼系统 当激励的频率接近系统的固有频率 激励时间又不是很短暂 的情况下 阻尼的影响是不能忽略的 一般情况下 可将各种类型的阻尼化作等效粘性阻尼 多自由度系统振动 有阻尼的多自由度系统 43 有阻尼的 n 自由度系统 阻尼矩阵 元素 cij 阻尼影响系数 物理意义 是使系统仅在第 j 个广义坐标上产生单位速度而 相应于第 i 个坐标上所需施加的力 阻尼力为广义速度的线性函数 阻尼矩阵一般是正定或半正定的对称矩阵 多自由度系统振动 有阻尼的多自由度系统 44 阻尼矩阵的建模方法 多自由度系统振动 有阻尼的多自由度系统 c1 k4 mmm k3 k1 k2 x1x2x3 c2c3c4 以三自由度 系统为例 假定系统存在和刚度一一对应的阻尼 系统阻尼矩阵参考刚度矩阵形式写出阻尼矩阵 45 有阻尼的 n 自由度系统 假定已经经得到无阻尼系统统下的模态态矩阵阵及谱谱矩阵阵 做坐标变换标变换 模态态阻尼矩阵阵 虽然主质量矩阵与主刚度矩阵是对角阵 但阻尼矩阵一般非 对角阵 因而主坐标Y下的强迫振动方程仍然存在耦合 多自由度系统振动 有阻尼的多自由度系统 46 非对角 例如 三自由度系统 c 2k mmm k 2k k x1x2x3 多自由度系统振动 有阻尼的多自由度系统 47 若 非对角 则在无阻尼系统中介绍的主坐标方法或正则 坐标方法都不再适用 振动分析将变得十分复杂 为了能沿用无阻尼系统中的分析方法 工程中常采用下列 近似处理方法 1 忽略 矩阵中的全部非对角元素 第 i 阶主振型的阻尼系数 第 i 阶振型阻尼或模态阻尼 做变换变换 n 自由度系统 令 第 i 阶振