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初中数学难题集锦 组题:韩松1(本小题满分10分)如图,AB为O的直径,点C在O上,过点C作O的切线交AB的延长线于点D,已知D30. 求A的度数;若点F在O上,CFAB,垂足为E,CF,求图中阴影部分的面积.2. 先阅读下面材料,然后解答问题:(本小题满分10分)【材料一】:如图,直线l上有、两个点,若在直线l上要确定一点P,且使点P到点、的距离之和最小,很明显点P的位置可取在和之间的任何地方,此时距离之和为到的距离. 如图,直线l上依次有、三个点,若在直线l上要确定一点P,且使点P到点、的距离之和最小,不难判断,点P的位置应取在点处,此时距离之和为到的距离. (想一想,这是为什么?)不难知道,如果直线l上依次有、四个点,同样要确定一点P,使它到各点的距离之和最小,则点P应取在点和之间的任何地方;如果直线l上依次有、五个点,则相应点P的位置应取在点的位置. 图图【材料二】:数轴上任意两点a、b之间的距离可以表示为. 【问题一】:若已知直线l上依次有点、共25个点,要确定一点P,使它到已知各点的距离之和最小,则点P的位置应取在 ;若已知直线l上依次有点、共50个点,要确定一点P,使它到已知各点的距离之和最小,则点P的位置应取在 . 【问题二】:现要求的最小值,根据问题一的解答思路,可知当x值为 时,上式有最小值为 . 3. (本小题满分10分) 如图,一条笔直的公路上有A、B、C 三地,B、C 两地相距 150 千米,甲、乙两辆汽车分别从B、C 两地同时出发,沿公路匀速相向而行,分别驶往C、B 两地甲、乙两车到A 地的距离、(千米)与行驶时间 x(时)的关系如图所示 根据图象进行以下探究: 请在图中标出 A地的位置,并作简要的文字说明; 求图中M点的坐标,并解释该点的实际意义 在图中补全甲车的函数图象,求甲车到 A地的距离与行驶时间x的函数关系式 A地设有指挥中心,指挥中心及两车都配有对讲机,两部对讲机在15千米之内(含15千米)时能够互相通话,求两车可以同时与指挥中心用对讲机通话的时间4(本小题满分10分)已知抛物线(a0)的顶点在直线上,且过点A(4,0)求这个抛物线的解析式;设抛物线的顶点为P,是否在抛物线上存在一点B,使四边形OPAB为梯形?若存在,求出点B的坐标;若不存在,请说明理由. 设点C(1,3),请在抛物线的对称轴确定一点D,使的值最大,请直接写出点D的坐标. 5(本小题满分12分)定义:只有一组对角是直角的四边形叫做损矩形,连结它的两个非直角顶点的线段叫做这个损矩形的直径. 如图1,损矩形ABCD,ABC=ADC=90,则该损矩形的直径是线段 . 图1在线段AC上确定一点P,使损矩形的四个顶点都在以P为圆心的同一圆上(即损矩形的四个顶点在同一个圆上),请作出这个圆,并说明你的理由. 友情提醒:“尺规作图”不要求写作法,但要保留作图痕迹图2如图2,ABC中,ABC90,以AC为一边向形外作菱形ACEF,D为菱形ACEF的中心,连结BD,当BD平分ABC时,判断四边形ACEF为何种特殊的四边形?请说明理由. 若此时AB3,BD,求BC的长. 6(本小题满分12分)已知在梯形ABCD中,ABDC,且AB=40cm,AD=BC=20cm,ABC=120点P从点B出发以1cm/s的速度沿着射线BC运动,点Q从点C出发以2cm/s的速度沿着线段CD运动,当点Q运动到点D时,所有运动都停止. 设运动时间为t秒如图1,当点P在线段BC上且CPQDAQ时,求t的值;在运动过程中,设APQ与梯形ABCD重叠部分的面积为S,求S关于t的函数关系式,并写出自变量t的取值范围;参考答案1(本小题满分10分) 解:连结OC,CD切O于点C,OCD90. (1分)D30,COD60. (2分)OAOC,AACO30. (4分)CF直径AB, CF,CE,(5分)在RtOCE中,OE2,OC4. (6分),.(8分)(10分)2. 先阅读下面材料,然后解答问题:(本小题满分10分)问题一:点处 (3分) 点和之间的任何地方 (6分)问题二:48 (8分) 1225 (10分)3. (本小题满分10分)A 地位置如图所示使点A满足AB AC23 . (2分)乙车的速度150275千米/时, ,M(1.2,0) (3分) 所以点 M表示乙车 1.2 小时到达 A地(4分)甲车的函数图象如图所示 (5分) 当时,;(6分)当时,. (7分) 由题意得,得; ,得. (9分) 两车同时与指挥中心通话的时间为小时. (10分)4(本小题满分10分)抛物线过点(0,0)、(4,0),抛物线的对称轴为直线. (1分) 顶点在直线上, 顶点坐标为(2,2). (3分) 故设抛物线解析式为,过点(0,0),抛物线解析式为(5分)当APOB时, 如图,BOAOAP45,过点B作BHx轴于H,则OHBH. 设点B(x,x),故,解得x6或x0(舍去)(6分)B(6,6). (7分) 当OPAB时,同理设点B(4x,x)故,解得x6或x0(舍去),B(2,6) .(8分)H D(2,6).(10分)5(本小题满分12分)解:AC;(1分)作图如图;(3分)点P为AC中点,PAPCAC.ABC=ADC=90,BPDPAC,PAPBPCPD,(4分)点A、B、C、D在以P为圆心,AC为半径的同一个圆上. (5分)解:菱形ACEF,ADC90AE2AD,EC2CD,四边形ABCD为损矩形,由可知,点A、B、C、D在同一个圆上. (7分) AM平分BAD,ABDCBD45,ADCD,四边形ACEF为正方形. (9分)点BD平分ABC,BD,点D到AB、BC的距离h为4,6. ,62BC,BC5或BC3(舍去),BC5. (12分)6(本小题满分12分)解:如图1,分别过点作AMCD于M,BNCD于N,BC20,C180ABC60,CN10DM,BN,CD60. CPQDAQ,(不合题意), t10.(5分) 图1 图2当点P在线段BC上时,如图2,过P作FGCD于G,交AB延长线于F. PF,PG,500,. ()(8分) 当点P在线段BC的延长线上时,如图3,过P作PHAB于H,则 设AP与CD交于点E, ,,QECQCE. y=. () (12分)
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