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道县、东安、江华、蓝山、宁远2020届高三12月联考试题理科数学一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.设集合,则( )A.B.C.D.2.设为第三象限角,则( )A.B.C.D.3.某几何体的三视图如图所示,则该三视图的体积为( )A.B.C.D.4.以下说法错误的是( )A.命题“若,则”的逆否命题为“若,则”B.“”是“”的充分不必要条件C.若为假命题,则、均为假命题D.若命题:,则:,5.若复数()是纯虚数,则复数在复平面内对应的点位于( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限6.湖面上飘着一个小球,湖水结冰后将球取出,冰面上留下一个半径为,深的空穴,则取出该球前,球面上的点到冰面的最大距离为( )A.B.C.D.7.已知函数的图像关于直线对称,则( )A.的最小正周期为,且在上为减函数B.的最小正周期为,且在上为增函数C.的最小正周期为,且在上为减函数D.的最小正周期为,且在上为增函数8.定义在上的偶函数满足,且当时,则函数的零点个数为( )A.2B.3C.4D.69.设,满足约束条件,则的取值范围是( )A.B.C.D.10.若函数在上单调递减,则实数的取值范围是( )A.B.C.D.11.的内角,的对边分别为,且,为的外心,则( )A.B.C.D.612.已知是函数的导函数,若存在,使得,则实数的取值范围是( )A.B.C.D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.已知等差数列,的前项和分别为,若,则_.14.观察分析下表中的数据:多面体面数()顶点数()棱数()三棱柱569四棱柱6812五棱锥6610猜想一般凸多面体中,所满足的等式为_.15.已知函数,若,使得,则实数的取值范围是_.16.以双曲线:(,)的右焦点为圆心,为半径的圆与的一条渐近线交于,两点,若,则双曲线的离心率为_.三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第1721题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答.(一)必考题:共60分.17.的内角,的对边分别为,若,.(1)求的周长;(2)求的值.18.已知数列的各项均为正数,其前项和为,且,.(1)求数列的通项公式;(2)设,求数列的前项和.19.如图,在梯形中,四边形为矩形,平面平面,.(1)证明:平面;(2)设点在线段上运动,平面与平面所成锐二面角为,求的取值范围.20.如图,分别过椭圆:()的左、右焦点、的动直线,相交于点,与椭圆分别交于、和、四点,直线、的斜率,满足.已知当与轴重合时,.(1)求椭圆的方程;(2)是否存在定点、,使得为定值?若存在,求出点、的坐标及定值;若不存在,请说明理由.21.已知函数.(1)讨论函数的零点个数;(2)若,函数在区间有最值,求实数的取值范围.(二)选考题:共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.22.选修4-4:坐标系与参数方程在平面直角坐标系中,已知曲线:(为参数),以原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系,直线:.(1)写出直线的直角坐标方程和曲线的普通方程;(2)在曲线上取一点,使点到直线的距离最大,求最大距离及此时点的坐标.23.选修4-5;不等式选讲已知函数,.(1)当时,求不等式的解集;(2)若恒成立,求实数的取值范围.高三理科数学参考答案一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)题号123456789101112答案CDBCBCACADBC二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13. 14. 15. 16.三、解答题(本大题共6小题,共70分)17.解:(1)故的周长为5.(2)且为的内角由正弦定理得18.解:(1)依题知,又,由得,且,则是等差数列,(2),两式相减得,.19解:(1)证明:在梯形中,因为,所以,所以,所以,所以因为平面平面,平面平面,因为平面,所以平面(2)由(1)可建立分别以直线,为轴,轴,轴的如图所示的空间直角坐标系,令,则,设为平面的一个法向量,由得,取,则,是平面的一个法向量,当时,有最小值,当时,有最大值20.解:(1)当与轴重合时,即,垂直于轴,得,得,椭圆的方程为.(2)焦点,坐标分别为,当直线或斜率不存在时,点坐标为或,当直线,斜率存在时,设斜率分别为,设,由得,同理,即,由题意知,设,则,即(),又当直线或斜率不存在时,点坐标为或也满足此方程,点在椭圆上,存在点和点,使得为定值,定值为.21、解(1),若,在上单调递增,且,时,此时,存在唯一零点;若,当,即时,无零点;当,即时,有一个零点;当,即时,有两个零点.综上:或时,有一个零点;时,有两个零点.时,无零点.(2),在上有最值,连在上不单调,而,恒成立.又,由,故.22.解:(1)的直角坐标方程为曲线的普通方程为(2)设,则当时,最大,23.解:(1)当时,解得当时,解得当时,解得不等式的解集为(2)当时,;当时,;当时,;所以的最小值为,10汇聚名校名师,奉献精品资源,打造不一样的教育!
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