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广东省百校2020届高三大联考数学题数学(理)卷注意事项:1.本试卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分,全卷满分150分.考试时间120分钟.答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号等信息填写在答题卡上.2.回答第卷时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效.3.回答第卷时,将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.4.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.第卷(选择题(共60分)、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知集合,集合,则( )A. B. C. D.2.在复平面内,复数(i为虚数单位)对应的点位于( )A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.已知是等差数列的前n项和,则( )A.46 B.43 C.40 D.374.已知x是第二象限角,则( )A. B. C. D.5.函数的图象在点处的切线与直线平行,则实数( )A.1 B. C.2 D.6.在古代典籍周易中,长横“”表示阳爻,两个短横“”表示阴爻,有放回地取出阳爻和阴爻六次合成一卦,恰好出现四个阳爻和两个阴爻的概率是( )A. B. C. D.7.函数的大致图象是( )A. B. C. D.8.若函数的部分图象如图所示,将图象上所有点的横坐标缩短为原来的得到函数的图象,则在上的最小值是( )A. B. C. D.9.设直线l经过椭圆的一个上顶点A和右焦点,且与椭圆交于另一点B,若O为坐标原点,的面积为,且,则该椭圆的标准方程是( )A. B. C. D.或10.蹴鞠起源于春秋战国,是现代足球的前身.到了唐代,制作的蹴鞠已接近于现代足球,做法是:用八片鞣制好的尖皮缝制成“圆形”的球壳,在球壳内放一个动物膀胱,“嘘气闭而吹之”,成为充气的球.如图所示,将八个全等的正三角形缝制成一个空间几何体,在几何体内放一个气球,往气球内充气使几何体膨胀,当几何体膨胀成球体(顶点位置不变)且恰好是原几何体外接球时,测得球的体积是,则正三角形的边长为( )A. B. C. D.11.已知函数,若函数恰有三个零点,则a的取值范围为( )A. B. C. D.12.已知双曲线的左,右焦点分别为,A,B是双曲线C上的两点,且,则该双曲线的渐近线方程为( )A. B. C. D.第卷(非选择题 共90分)本卷包括必考题和选考题两部分,第13题第21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22题第23题为选考题,考生根据要求作答.二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.将答案填写在题中的横线上)13.已知向量,则_.14.若x,y满足约束条件,则的最大值为_.15.如图,在棱长为2的正方体中,M,N,P分别为棱,CD的中点,则平面MNP与正方形相交形成的线段的长度为_.16.在各项均为正数的数列中,是数列的前n项和,若对,不等式恒成立,则实数的取值范围为_.三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第1721题为必考题,每个试题考生都必须作答,第22、23题为选考题,考生根据要求作答.(一)必考题:共60分17,(本小题满分12分)在中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,B为锐角且满足.(1)求角B的大小;(2)若,求的面积.18,(本小题满分12分)如图,在四棱锥中,平面平面ABCD,底面ABCD是直角梯形,O是AD的中点.(1)在线段PA上找一点E,使得平面PCD,并证明;(2)在(1)的条件下,若,求平面OBE与平面POC所成的锐二面角的余弦值.19.(本小题满分12分)某超市新上一种瓶装洗发液,为了打响知名度,举行为期六天的低价促销活动,随着活动的有效开展,第六天该超市对前五天中销售的洗发液进行统计,y表示第x天销售洗发液的瓶数,得到统计表格如下:x12345y46101520(1)若y与x具有线性相关关系,请根据上表提供的数据,用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程,并预测第六天销售该洗发液的瓶数(按四舍五入取到整数);(2)超市打算第六天加大活动力度,购买洗发液可参加抽奖,中奖者可领取奖金20元,中奖概率为,已知甲、乙两名顾客抽奖中奖与否相互独立,求甲、乙所获得奖金之和X的分布列及数学期望.参考公式:,.20.(本小题满分12分)已知点C是平面直角坐标系中的一个动点,过点C且与y轴垂直的直线与直线交于点M,若向量与向量垂直,其中O为坐标原点.(1)求点C的轨迹方程E;(2)过曲线E的焦点作互相垂直的两条直线分别交曲线E于A,B,P,Q四点,求四边形APBQ的面积的最小值.21.(本小题满分12分)已知函数.(1)讨论函数的极值点的个数;(2)当函数有两个极值点,时,求证:.(二)选考题:共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分.22.(本小题满分10分)【选修4-4:坐标系与参数方程】已知直线l的参数方程为(t为参数),以原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程是.(1)写出直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程;(2)若点,直线l与曲线C交于A,B两点.求的值.23.(本小题满分10分)【选修4-5:不等式选讲】已知函数,.(1)求不等式的解集;(2)已知,记函数的最小值为M,求证:.参考答案1.【答案】C【解析】集合,集合,.故选C.2.【答案】B【解析】,其在复平面内对应点的坐标为,位于第二象限,故选B.3.【答案】B【解析】由题知,故选B.4.【答案】A【解析】是第二象限角,是第二象限角,故选A.5.【答案】D【解析】由得,由题意得,即,所以.故选D.6.【答案】C【解析】有放回地取阳爻和阴爻六次,有种情况,恰好出现四个阳爻和两个阴爻有种情况,所以恰好出现四个阳爻和两个阴爻的概率.7.【答案】B【解析】因为函数是非奇非偶函数,故排除选项D;因为,故排除选项A;又易知当时,故排除选项C.所以选项B正确.8.【答案】A【解析】由图象知,则,得,即,由图象过点得,得,即,当,得,故选A.9.【答案】D【解析】由,得,即.易知直线l的方程为,即.联立,消去y并化简得,解得或.则,又,结合,解得,或.所以椭圆的标准方程是或.故选D.10.【答案】A【解析】图中的八个全等的正三角形缝制成的空间几何体是正八面体,设正三角形的边长为a,正八面体的外接球的半径为R,则.依题意,所以,整理得,所以.11.【答案】B【解析】作出的图象如图:若函数恰有三个零点,等价为方程有一个解,有两个解;故.12.【答案】C【解析】设,则,在中,由余弦定理得:,解得,在中,得,则该双曲线的渐近线方程为.故选C.13.【答案】【解析】由题知,解得,.14.【答案】9【解析】作出可行域如图中阴影部分所示,作出直线,平移直线,由图可知,当直线过A时,z取最大值,由解得,所以 .15.【答案】【解析】如图,取BC得中点Q,的中点H,易知,故平面MNP与正方形,的交线是QH,而.16.【答案】【解析】,数列是首项为1公比为3的等比数列,不等式即对恒成立,当且仅当,即时,实A的取值范围为.17.解:(1)由,结合正弦定理得:,(2分)即,又在中,而B为锐角,.(6分)(2),.(8分)化简得,解得.(10分)故的面积为.(12分)18.解:(1)E是线段PA的中点,证明:连接BE,OE,OB,是AD的中点,又平面PCD,平面PCD,平面PCD,又底面ABCD是直角梯形,又平面PCD,平面PCD,平面PCD,平面OBE,平面OBE,平面平面PCD,又平面OBE,平面PCD.(6分)(2)平面平面ABCD,平面ABCD,且,以O为原点,如图建立空间直角坐标系,(7分)得,得,设是平面OBE的一个法向量,则,得,取,得,(10分)又易知是平面POC的一个法向量,设平面OBE与平面POC所成的锐二面角为,则,即平面OBE与平面POC所成的锐二面角的余弦值为.(12分)19.解:(1)依题意:,(1分)所以,(3分)故所求线性回归方程为.(4分)将代入中,得,故预测第六天销售该洗发液的瓶数为23.(6分)(2)X的可能取值为0,20,40.;.X02040P所以X的数学期望.(12分)20.解:(1)设点.由题意,点,则,.(2分)因为向量与向量垂直,所以.即.故点C的轨迹方程是.(4分)(2)由(1)知,抛物线E的焦点是,设直线,则直线.(5分)联立,消去x得,设,则,.所以.(7分)设点,同理可得.(9分)所以,当且仅当,即时等号成立.即四边形APBQ的面积的最小值为32.(12分)21,解:(1),.设,则.令,解得.当时,;当时,.当时,函数单调递增,没有极值点;当时,且当时,;当时,.当时,有两个零点,即函数有两个极值点.综上,当时,函数的极值点的个数为0;当时,函数的极值点的个数为2.(5分)(2)由(1)知,为的两个实数根,不妨设,在上单调递减.下面先证,只需证.,得,.设,则,在上单调递减,.函数在上也单调递减,.要证,只需证,即证.设函数,则.设,则.在上单调递增,即.在上单调递增,.当时,.(12分)22.解:(1)消去中的t,得直线l的普通方程为;将,代入曲线C的极坐标方程,得曲线C的直角坐标方程为.(5分)(2)将代入,得,设,是上述方程的两根,则,.(10分)23.解:(1)由题知,原不等式,即等价于,解得,不等式的解集为.(5分)(2)由题知,当且仅当时,取等号,.(当且仅当,即时取等号)(10分)
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