第24章圆知识体系复习 本章知识结构图 圆的基本性质 圆 圆的对称性 弧 弦圆心角之间的关系 同弧上的圆周角与圆心角的关系 与圆有关的位置关系 正多边形和圆 有关圆的计算 点和圆的位置关系 切线直线和圆的位置关系 三角形的外接圆 三角形内切圆 等分圆 圆和圆的位置关系 弧长 扇形的面积 圆锥的侧面积和全面积 第1部分 圆的基本性质 第2部分 与圆有关的位置关系 本 章 安 排 复 习 内 容 第3部分 正多边形和圆 第4部分 弧长和面积的计算 第5部分 有关作图 一 圆的基本概念 1 圆的定义 到定点的距离等于定长的点的 集合叫做圆 2 有关概念 1 弦 直径 圆中最长的弦 2 弧 优弧 劣弧 等弧 3 弦心距 O 二 圆的基本性质 1 圆的对称性 1 圆是轴对称图形 经过圆心的每一条直 线都是它的对称轴 圆有无数条对称轴 2 圆是中心对称图形 并且绕圆心旋转 任何一个角度都能与自身重合 即圆具 有旋转不变性 2 同圆或等圆中圆心角 弧 弦之间的关系 1 在同圆或等圆中 如果圆心角相等 那么它所 对的弧相等 所对的弦相等 2 在圆中 如果弧相等 那么它所对的圆心角相 等 所对的弦相等 3 在一个圆中 如果弦相等 那么它所对的弧相 等 所对的圆心角相等 A B D C O COD AOB AB CD AB CD 3 垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦 并且 平分弦所对的两条弧 A D B P C CD是圆O的直径 CD AB AP BP AC BC AD BD 对于一个圆中的弦长a 圆心到弦的距离 d 圆半径r 弓形高h 这四个量中 只要 已知其中任意两个量 就可以求出另外两 个量 如图有 d h r 垂径定理的 应用 4 圆周角 定义 顶点在圆周上 两边和圆相交的 角 叫做圆周角 性质 1 在同一个圆中 同弧所对的圆周 角等于它所对的圆心角的一半 BAC BOC 1 2 在同圆或等圆中 同弧或等弧所对的所有的 圆周角相等 相等的圆周角所对的弧相等 圆周角的性质 2 ADB与 AEB ACB 是同弧所对的圆周角 ADB AEB ACB 性质 3 半圆或直径所对的圆周角都 相等 都等于900 直角 性质4 900的圆周角所对的弦是圆的直径 AB是 O的直径 ACB 900 圆周角的性质 2 点在圆上 3 点在圆外 1 点在圆内 1 点和圆的位置关系 A C B 如果规定点与圆心的距离为d 圆的半径 为r 则d与r的大小关系为 点在圆内 点在圆上 点在圆外 d r d r d r 三 与圆有关的位置关系 2 直线和圆的位置关系 O O O l l l 1 相离 2 相切 3 相交 一条直线与一个圆没有公共点 叫做 直线与这个圆相离 一条直线与一个圆只有一个公共点 叫 做直线与这个圆相切 一条直线与一个圆有两个公共点 叫 做直线与这个圆相交 O O l 1 当直线与圆相离时d r 2 当直线与圆相切时d r 3 当直线与圆相交时d r 直线与圆位置关系的识别 d r l d r O l d r 设圆的半径为r 圆心到直线的距离为d 则 1 与圆有一个公共点的直线 2 圆心到直线的距离等于圆的半 径的直线是圆的切线 3 经过半径的外端且垂直于这条 半径的直线是圆的切线 O A l OA是半径 OA l 直线l是 O的切线 切线的性质 1 圆的切线垂直于经过切点的半径 2 经过圆心垂直于切线的直线必经过切点 3 经过切点垂直于切线的直线必经过圆心 O A l OA l 直线l是 O的切线 切 点为A 切线长定理 从圆外一点引圆的两条切线 它们 的切线长相等 这点与圆心的连线平分 这两条切线的夹角 B A P O PA PB为 O的切线 PA PB APO BPO 不在同一直线上的三点确定一个圆 O C B A 三角形的外接圆与内切圆 三角形的外心就是三角形各边垂直平分线的交点 O A BC 三角形的内心就是三角形各角平分线的交点 等边三角形的外心与内心重合 特别的 内切圆半径与外接圆半径的比是1 2 O A B C D 圆与圆的位置关系 外离外切 相交 内切 内含 O1 O2 O1 O2 O1 O2 O2 O1 O1 O2 d R r d R r d R r d R r R r d R r 三 正多边形 2 半径 正多边形外接圆的半径叫做这 个正多边形的半径 中心 一个正多边形外接圆的圆心 叫做这个正多边形的中心 3 中心角 正多边形每一边所对的外接圆 的圆心角叫做这个正多边形的中心角 4 边心距 中心到正多边形一边的距离 叫做这个正多边形的边心距 O A B F D C E G 1 圆的周长和面积公式 2 弧长的计算公式 3 扇形的面积公式 S 360 n r2 L 180 n r 1 2 lr S 或 四 圆中的有关计算 周长C 2 r面积s r2 O r 4 圆柱的展开图 D B C A r h S侧 2 r h S全 2 r h 2 r2 5 圆锥的展开图 底面 侧面 a a h r S侧 r a S全 r a r2 E C BA O D 常见的基本图形及结论 1 如图 在以O为圆心的 两个同心圆中 大圆的弦 AB交小圆于C D 则 AC BD 若大圆的弦切小圆于C 则 O A C B AC BC 两圆之间的环形面积 S AB2 2 如图 以等腰 ABC的腰AB为直径作 O交底边BC于点D 则 O C B A D 点D是BC的中点 O P B A D C 3 如图 已知PA PB切圆O于点A B 过弧AB上任一点E作圆O的切线 交 PA PB于点C D 则 1 PCD的周长 2PA 2 COD 900 APB E O A BC O A BC D F E D F E 4 如图 ABC各边分别 切圆O于点D E F 1 DEF 900 A 3 S ABC a b c r 2 BOC 900 A A B C O E F D 5 在Rt ABC中 ACB是直角 三边分 别是a b c 内切圆半径是r 则 内切圆半径r a b c 2 a b c ab 或r 6 如图 AB是圆O的直径 AD BC DC均 为切线 则 1 DC AD BC 2 DOC 900 专题一 与圆有关的辅助线的作法 辅助线 莫乱添 规律方法记心间 圆半径 不起眼 角的计算常要连 构成等腰解疑难 切点和圆心 连结要领先 遇到直径想直角 灵活应用才方便 弦与弦心距 亲密紧相连 典型例题 1 如图 O的直径AB 12 以OA为直径的 O1交大圆的弦AC于D 过D点作小圆的切 线交OC于点E 交AB于F E O1O D C B A F 2 猜想DF与OC的位 置关系 并说明理由 1 说明D是AC的中点 3 若DF 4 求OF的长 2 如图 正方形ABCD的边长为2 P是线段 BC上的一个动点 以AB为直径作圆O 过点 P作圆O的切线交AD于点F 切点为E DC BA F P O E 1 求四边形CDFP的周长 2 设BP x AF y 求y关 于x的函数解析式 Q