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模块综合检测(时间120分钟,满分150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,满分60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1已知复数z12i,z21i,则在复平面内对应的点位于()A第一象限B第三象限C第二象限 D第四象限解析:,对应点在第四象限答案:D2已知f(x)x(2 018ln x),f(x0)2 019,则x0()Ae2B1Cln 2 De解析:由题意可知f(x)2 018ln xx2 019ln x由f(x0)2 019,得ln x00,解得x01.答案:B3若(2x3x2)dx0,则k等于()A0 B1C0或1 D以上都不对解析:取F(x)x2x3,则F(x)2x3x2.(2x3x2)dxF(k)F(0)k2k30,k1或k0(舍去)答案:B4曲线f(x)在点(1,f(1)处切线的倾斜角为,则实数a()A1 B1C7 D7解析:f(x),又f(1)tan1,a7.答案:C5如图所示,着色的三角形的个数依次构成数列an的前4项,则这个数列的一个通项公式为()Aan3n1 Ban3nCan3n2n Dan3n12n3解析:因为a11,a23,a39,a427,猜想an3n1.答案:A6.如图所示,椭圆中心在坐标原点,F为左焦点,当时,其离心离为,此类椭圆被称为“黄金椭圆”类比“黄金椭圆”,可推算出“黄金双曲线”的离心率e等于()A.B.C.1 D.1解析:如图所示,设双曲线方程为1(a0,b0),则F(c,0),B(0,b),A(a,0),所以(c,b),(a,b)又因为,所以b2ac0,所以c2a2ac0,即e2e10,解得e或e(舍去)答案:A7用数学归纳法证明“Sn1(nN)”时,S1等于()A.B.C.D以上答案均不正确解析:当n1时,S1.答案:C8.如图,yf(x)是可导函数,直线l:ykx2是曲线yf(x)在x3处的切线,令g(x)xf(x),g(x)是g(x)的导函数,则g(3)()A1 B0C2 D4解析:由图可知曲线yf(x)在x3处切线的斜率等于,即f(3).又g(x)xf(x),g(x)f(x)xf(x),g(3)f(3)3f(3),由图可知f(3)1,所以g(3)130.答案:B9给出下面类比推理命题(其中Q为有理数集,R为实数集,C为复数集):“若a,bR,则ab0ab”类比推出“a,bC,则ab0ab”;“若a,b,c,dR,则复数abicdiac,bd”类比推出“若a,b,c,dQ,则abcdac,bd”;“若a,bR,则ab0ab”类比推出“若a,bC,则ab0ab”其中类比结论正确的个数是()A0 B1C2 D3解析:正确,错误答案:C10定义在R上的函数f(x)满足:f(x)f(x)恒成立,若x1x2,则ex1f(x2)与ex2f(x1)的大小关系为()Ae x1f(x2)e x2f(x1)Be x1f(x2)e x2 (x1)Ce x1f(x2)e x2f(x1) De x1f(x2)与e x2f(x1)的大小关系不确定解析:设g(x),则g(x),由题意g(x)0,所以g(x)单调递增,当x1x2时,g(x1)g(x2),即,所以e x1f(x2)e x2f(x1)答案:A11已知函数f(x)x,若f(x1)x2 Bx1x20Cx1x2 Dxx解析:因为f(x)xf(x),所以f(x)为偶函数由f(x1)f(x2),得f(|x1|)0,所以f(x)0,所以f(x)在上为增函数,由(*)式得|x1|x2|,即x0),则g(t),令g(t)0,得t1,当t(0,1)时,g(t)0,所以g(t)ming(1),所以|AB|,所以|AB|的最小值为.答案:D二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,满分20分,把答案填在题中横线上)13复数z满足(1i)z|i|,则_.解析:(1i)z|i|2,z1i,1i.答案:1i14观察下列式子:1,1,1,则可归纳出_解析:根据三个式子的规律特点进行归纳可知,1(nN)答案:10,得x1或x1.f(x)的单调递增区间为(,1),(1,)19(本小题满分12分)已知函数f(x)x2mln x,h(x)x2xa.(1)当a0时,f(x)h(x)在(1,)上恒成立,求实数m的取值范围;(2)当m2时,若函数k(x)f(x)h(x)在区间(1,3)上恰有两个不同零点,求实数a的取值范围解:(1)由f(x)h(x),得m在(1,)上恒成立令g(x),则g(x),当x(1,e)时,g(x)0;当x(e,)时,g(x)0,所以g(x)在(1,e)上递减,在(e,)上递增故当xe时,g(x)的最小值为g(e)e.所以me.即m的取值范围是(,e(2)由已知可得k(x)x2ln xa.函数k(x)在(1,3)上恰有两个不同零点,相当于函数(x)x2ln x与直线ya有两个不同的交点(x)1,当x(1,2)时,(x)0,(x)递减,当x(2,3)时,(x)0,(x)递增又(1)1,(2)22ln 2,(3)32ln 3,要使直线ya与函数(x)x2ln x有两个交点,则22ln 2a32ln 3.即实数a的取值范围是(22ln 2,32ln 3)20(本小题满分12分)在数列an中,a11,an1cancn1(2n1)(nN),其中实数c0.求an的通项公式解:a2ca1c233c2c(221)c2c,a3ca2c358c3c2(321)c3c2,a4ca3c4715c4c3(421)c4c3,猜测an(n21)cncn1,nN.下面用数学归纳法证明当n1时,等式成立假设nk时,等式成立,即ak(k21)ckck1,则当nk1时,ak1cakck1(2k1)c(k21)ckck1ck1(2k1)(k22k)ck1ck(k1)21ck1ck.即当nk1时,结论成立综上,an的通项公式为an(n21)cncn1(nN)21(本小题满分12分)某开发商用9 000万元在市区购买一块土地,用于建一幢写字楼,规划要求写字楼每层建筑面积为2 000平方米已知该写字楼第一层的建筑费用为每平方米4 000元,从第二层开始,每一层的建筑费用比其下面一层每平方米增加100元(1)若该写字楼共x层,总开发费用为y万元,求函数yf(x)的表达式;(总开发费用总建筑费用购地费用)(2)要使整幢写字楼每平方米的平均开发费用最低,该写字楼应建为多少层?解:(1)由已知,写字楼最下面一层的总建筑费用为4 0002 0008 000 000(元)800(万元),从第二层开始,每层的建筑总费用比其下面一层多1002 000200 000(元)20(万元),写字楼从下到上各层的总建筑费用构成以800为首项,20为公差的等差数列,所以函数表达式为yf(x)
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