资源预览内容
第1页 / 共10页
第2页 / 共10页
第3页 / 共10页
第4页 / 共10页
第5页 / 共10页
第6页 / 共10页
第7页 / 共10页
第8页 / 共10页
第9页 / 共10页
第10页 / 共10页
亲,该文档总共10页全部预览完了,如果喜欢就下载吧!
资源描述
1.2.1常见函数的导数几个常见函数的导数已知函数(1)f(x)c,(2)f(x)x,(3)f(x)x2,(4)f(x),(5)f(x).问题1:函数f(x)x的导数是什么?提示:1,当x0时,1,即x1.问题2:函数f(x)的导数是什么?提示:,当x0时,即.1(kxb)k(k,b为常数);2C0(C为常数);3(x)1;4(x2)2x;5(x3)3x2;6.;7() .基本初等函数的导数公式1(x)x1(为常数);2(ax)axln_a(a0,且a1);3(logax)logae (a0,且a1);4(ex)ex;5(ln x);6(sin x)cos_x;7(cos x)sin_x.函数f(x)logax的导数公式为f(x)(logax),当ae时,上述公式就变形为(ln x),即f(x)ln x是函数f(x)logax当ae时的特殊情况类似地,还有f(x)ax与f(x)ex.求函数的导数例1求下列函数的导数(1)yx8;(2)y;(3)yx;(4)ylog2x.思路点拨解答本题可先将解析式化为基本初等函数,再利用公式求导精解详析(1)y(x8)8x7;(2)y(x3)3x4;(3)y(x)(x)x;(4)y(log2x).一点通用导数公式求导,可以简化运算过程、降低运算难度解题时应根据所给函数的特征,恰当地选择求导公式,有时需将题中函数的结构进行调整,如根式、分式转化为指数式,利用幂函数的求导公式求导1函数ysin的导数是_解析:ysincos x,所以ysin x.答案:sin x2下列结论中不正确的是_若y3,则y0;cos ;若yx,则y1.解析:正确;sin ,而()0,不正确;对于,(x)x,正确;正确答案:3求下列函数的导函数(1)y10x;(2)ylogx;(3)y;(4)y21.解:(1)y(10x)10xln 10;(2)y(logx);(3)yx,y(x)x;(4)y(sincos)21sin22sincoscos21sin x,y(sin x)cos x.求函数在某一点处的导数例2求函数f(x)在x1处的导数思路点拨先求导函数,再求导数值精解详析f(x)x,f(x)x,f(1).一点通求函数在某点处的导数需要先对原函数进行化简,然后求导,最后将变量的值代入导函数便可求解4若函数f(x),则f(1)_.解析:f(x)()(x)x,f(1).答案:5若函数f(x)sin x,则f(6)_.解析:f(x)(sin x)cos x.f(6)cos 61.答案:16已知f(x)且f(1),求n.解:f(x)(x)x1x,f(1),由f(1)得,得n2.求切线方程例3已知曲线方程yx2,求:(1)曲线在点A(1,1)处的切线方程;(2)过点B(3,5)且与曲线相切的直线方程思路点拨(1)点A在曲线上,故直接求导数,再求直线方程;(2)B点不在曲线上,故解答本题需先设出切点坐标,再利用导数的几何意义求出斜率,进而求出切点坐标,得到切线的方程精解详析(1)y2x,当x1时,y2,故过点A(1,1)的切线方程为y12(x1),即2xy10.(2)B(3,5)不在曲线yx2上,可设过B(3,5)与曲线yx2相切的直线与曲线的切点为(x0,y0)y2x,当xx0时,y2x0.故切线方程为yx2x0(xx0)又直线过B(3,5)点,5x2x0(3x0)即x6x050.解得x01或x05.故切线方程为2xy10或10xy250.一点通(1)求切线方程是导数的应用之一,有两种情况:求曲线在点P处的切线方程,P为切点,在曲线上;求过点P与曲线相切的直线方程,P不一定为切点,不一定在曲线上(2)求曲线上某点(x0,y0)处的切线方程的步骤:求出f(x0),即切线斜率;写出切线的点斜式方程;化简切线方程(3)求过点P与曲线相切的直线方程的步骤:设出切点坐标为(x0,y0);写出切线方程yy0f(x0)(xx0);代入点P的坐标,求出方程7已知直线yxa与曲线yln x相切,则a的值为_解析:设切点为P(x0,y0),y,由题意得1,x01,点P的坐标为(1,0),把点P的坐标代入直线yxa,得a1.答案:18求曲线y2x21的斜率为4的切线的方程解:设切点为P(x0,y0),y4x,由题意知,当xx0时,y4x04,所以x01.当x01时,y01,切点P的坐标为(1,1)故所求切线的方程为y14(x1),即4xy30.1对公式yxn的理解:(1)yxn中,x为自变量,n为常数;(2)它的导数等于指数n与自变量的(n1)次幂的乘积公式中nQ,对nR也成立2在应用正、余弦函数及指数、对数函数的求导公式时应注意的问题:(1)对于公式(sin x)cos x,(cos x)sin x,一要注意函数的变化,二要注意符号的变化(2)对于公式(ln x)和(ex)ex很好记,但对于公式(logax)logae和(ax)axln a的记忆就较难,特别是两个常数logae与ln a很容易混淆对应课时跟踪训练(三)一、填空题1已知f(x)x,若f(1)4,则的值是_解析:f(x)x,f(x)x1,f(1)(1)14.4.答案:42过曲线y上一点P的切线的斜率为4,则点P的坐标为_解析:设P(x0,y0),则f(x0)4.所以x0,所以P或P.答案:或3已知f(x)x2,g(x)x3,则适合方程f(x)1g(x)的x值为_解析:由导数公式可知f(x)2x,g(x)3x2.所以2x13x2,即3x22x10.解之得x1或x.答案:1或4设函数f(x)logax,f(1)1,则a_.解析:f(x),f(1)1.ln a1,即a.答案:5已知直线ykx是曲线yln x的切线,则k的值等于_解析:y(ln x),设切点坐标为(x0,y0),则切线方程为yy0(xx0)即yxln x01.由ln x010,知x0e.k.答案:二、解答题6求下列函数的导数(1)ylg 2;(2)y2x;(3)y;(4)y2cos21.解:(1)y(lg 2)0;(2)y(2x)2xln 2;(3)y(x)x;(4)y2cos21cos x,y(cos x)sin x.7已知点P(1,1),点Q(2,4)是曲线yx2上的两点,求与直线PQ平行的曲线yx2的切线方程解:y(x2)2x,设切点为M(x0,y0),则当xx0时,y2x0.又PQ的斜率为k1,而切线平行于PQ,k2x01,即x0,所以切点为M,所求的切线方程为yx,即4x4y10.8求曲线y和yx2在它们交点处的两条切线与x轴所围成的三角形的面积解:由解得交点为(1,1)y,曲线y在(1,1)处的切线方程为y1x1,即yx2.又y(x2)2x,曲线yx2在(1,1)处的切线方程为y12(x1),即y2x1.yx2与y2x1和x轴的交点分别为(2,0),.所求面积S1.10
网站客服QQ:2055934822
金锄头文库版权所有
经营许可证:蜀ICP备13022795号 | 川公网安备 51140202000112号