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(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1与向量a(1,3,2)平行的一个向量的坐标是()A.B.C.D(,3,2)考点空间向量的数乘运算题点空间共线向量定理及应用答案B2两平行平面,分别经过坐标原点O和点A(2,1,1),且两平面的一个法向量n(1,0,1),则两平面间的距离是()A.B.C.D3答案B解析两平面间的距离d.3设i,j,k为单位正交基底,已知a3i2jk,bij2k,则5a与3b的数量积等于()A15B5C3D1答案A解析a(3,2,1),b(1,1,2),5a3b15ab15.4平面的一个法向量为m(1,2,0),平面的一个法向量为n(2,1,0),则平面与平面的位置关系是()A平行B相交但不垂直C垂直D不能确定答案C解析(1,2,0)(2,1,0)0,两法向量垂直,从而两平面垂直5点P是棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1内一点,且满足,则点P到棱AB的距离为()A.B.C.D.答案A解析因为在上的投影为,所以点P到AB的距离d.6若平面的法向量为n,直线l的方向向量为a,直线l与平面的夹角为,则下列关系式成立的是()AcosBcosCsinDsin答案D解析若直线与平面所成的角为,直线的方向向量与该平面的法向量所成的角为,则90或90,cos,sin|cos|.7已知直线l的方向向量a,平面的法向量,若a(1,1,1),(1,0,1),则直线l与平面的位置关系是()A垂直B平行C相交但不垂直D直线l在平面内或直线l与平面平行答案D解析a1(1)10110,得直线l的方向向量垂直于平面的法向量,则直线l在平面内或直线l与平面平行8A,B,C,D是空间不共面的四点,且满足0,0,0,M为BC的中点,则AMD是()A钝角三角形B锐角三角形C直角三角形D不确定答案C解析M为BC的中点,()()0.AMAD,AMD为直角三角形9已知l1的方向向量为v1(1,2,3),l2的方向向量为v2(,4,6),若l1l2,则等于()A1B2C3D4答案B解析由l1l2,得v1v2,得,故2.10过正方形ABCD的顶点A作线段PA平面ABCD,若ABPA,则平面ABP与平面CDP的夹角为()A30B45C60D90答案B解析建立如图所示的空间直角坐标系Axyz,设ABPA1,知A(0,0,0),B(1,0,0),D(0,1,0),C(1,1,0),P(0,0,1),由题意得,AD平面ABP,设E为PD的中点,连接AE,则AEPD.又CD平面PAD,AECD,又PDCDD,AE平面CDP.(0,1,0),分别是平面ABP,平面CDP的法向量,而,45.平面ABP与平面CDP的夹角为45.11.如图所示,四面体SABC中,0,0,0,SBC60,则BC与平面SAB的夹角为()A30B60C90D75答案B解析0,0,即SBSC,SASC,又SBSAS,SC平面SAB,SBC为BC与平面SAB的夹角又SBC60,故BC与平面SAB的夹角为60.12将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角ABDC,有如下四个结论:ACBD;ACD是等边三角形;AB与平面BCD所成的角为60;AB与CD所成的角为60.其中错误的结论是()ABCD答案C解析如图所示,建立空间直角坐标系Oxyz,设正方形ABCD边长为,则D(1,0,0),B(1,0,0),C(0,0,1),A(0,1,0),所以(0,1,1),(2,0,0),0,故ACBD.正确又|,|,|,所以ACD为等边三角形正确对于,为平面BCD的法向量,cos,.因为直线与平面所成的角0,90,所以AB与平面BCD所成角为45.故错误又cos,.因为异面直线所成的角为锐角或直角,所以AB与CD所成角为60.故正确二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13设a,b是直线,是平面,a,b,向量a在a上,向量b在b上,a(1,1,1),b(3,4,0),则,所成二面角中较小的一个角的余弦值为_答案解析设,所成二面角中较小的一个角为,由题意得,cos|cosa,b|.14.如图所示,已知正四面体A-BCD中,AEAB,CFCD,则直线DE和BF所成角的余弦值为_答案解析设AB4,cos,.15.如图所示,已知二面角-l-的平面角为,ABBC,BCCD,AB在平面内,BC在l上,CD在平面内,若ABBCCD1,则AD的长为_答案解析因为,所以22222221112cos()32cos.所以|,即AD的长为.16给出下列命题:若ab0,则a,b是钝角;若a为直线l的方向向量,则a(R)也是l的方向向量;非零向量a,b,c满足a与b,b与c,c与a都是共面向量,则a,b,c必共面其中不正确的命题为_(填序号)答案解析错误,ab0,即cosa,b0,即a,b,而钝角的取值范围是;错误,当0时,a0不能作为直线l的方向向量;错误,在平行六面体ABCDA1B1C1D1中,令a,b,c,则它们两两共面,但显然,不共面三、解答题(本大题共6小题,共70分)17(10分)设向量a(3,5,4),b(2,1,8),计算2a3b,3a2b,ab以及a与b所成角的余弦值,并确定,应满足的条件,使ab与z轴垂直解2a3b2(3,5,4)3(2,1,8)(6,10,8)(6,3,24)(12,13,16)3a2b3(3,5,4)2(2,1,8)(9,15,12)(4,2,16)(5,13,28)ab(3,5,4)(2,1,8)653221.|a|5,|b|,cosa,b.ab与z轴垂直,(32,5,48)(0,0,1)480,即2,当,满足2时,可使ab与z轴垂直18(12分)已知空间内三点A(0,2,3),B(2,1,6),C(1,1,5)(1)求以向量,为一组邻边的平行四边形的面积S;(2)若向量a与向量,都垂直,且|a|,求向量a的坐标解(1)(2,1,3),(1,3,2),cosBAC,又BAC0,180,BAC60,S|sin607.(2)设a(x,y,z),由a,得2xy3z0,由a,得x3y2z0,由|a|,得x2y2z23,xyz1或xyz1.a(1,1,1)或a(1,1,1)19(12分)如图,在平行四边形ABCD中,ABAC1,ACD90,把ADC沿对角线AC折起,使AB与CD成60角,求BD的长解AB与CD成60角,60或120,又ABACCD1,ACCD,ACAB,|2或.BD的长为2或.20(12分)如图所示,已知几何体ABCDA1B1C1D1是平行六面体(1)化简,并在图上标出结果;(2)设M是底面ABCD的中心,N是侧面BCC1B1对角线BC1上的点,且C1NC1B,设,试求,的值解(1)取AA1的中点E,在D1C1上取一点F,使得D1F2FC1,连接EF,则.(2)()(),所以,.21(12分)如图所示,四边形ABCD为直角梯形,ABCD,ABBC,ABE为等边三角形,且平面ABCD平面ABE,AB2CD2BC2,P为CE的中点(1)求证:ABDE;(2)求平面ADE与平面BCE所成的锐二面角的余弦值;(1)证明取AB的中点O,连接OD,OE,因为ABE是正三角形,所以ABOE.因为四边形ABCD是直角梯形,DCAB,ABCD,所以四边形OBCD是平行四边形,所以ODBC.又ABBC,所以ABOD,又OEODO,所以AB平面ODE,所以ABDE.(2)解因为平面ABCD平面ABE,ABOE,OE平面ABE,平面ABCD平面ABEAB.所以OE平面ABCD,所以OEOD.如图所示,以O为原点建立空间直角坐标系Oxyz,则A(1,0,0),B(1,0,0),D(0,0,1),C(1,0,1),E(0,0),所以(1,0,1),(0,1)设平面ADE的法向量为n1(x1,y1,z1),则即令z11,则x11,y1,所以n1,同理可求得平面BCE的一个法向量为n2(,1,0),设平面ADE与平面BCE所成的锐二面角为,则cos,所以平面ADE与平面BCE所成的锐二面角的余弦值为.22(12分)如图,在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,侧棱A1A底面ABCD,ABAC,AB1,ACAA12,ADCD,且点M和N分别为B1C和D1D的中点(1)求证:MN平面ABCD;(2)求平面ACD1与平面ACB1的夹角的正弦值;(3)设E为棱A1B1上的点,若直线NE和平面ABCD的夹角的正弦值为,求线段A1E的长(1)证明如图,以A为原点建立空间直角坐标系,依题意可得A(0,0,0),B(0,1,0),C(2,0,0),D(1,2,0),A1(0,0,2),B1(0,1,2),C1(2,0,2),D1(1,2,2),又因为M,N分别为B1C和D1D的中点,得M,N(1,2,1)可得n(0,0,1)为平面ABCD的法向量,由此可得n0,又因为直线MN平面ABCD,所以MN平面ABCD.(2)解(1,2,2),(2,0,0),设n1(x,y,z)为平面ACD1的法向量,则即不妨设z1,可得n1
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