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43.1利用导数研究函数的单调性读教材填要点函数在区间(a,b)上的单调性与其导函数的正负有如下关系:导函数的正负函数在(a,b)上的单调性f(x)0单调递增f(x)0,则f(x)在此区间上单调递增,反之也成立吗?提示:不一定成立比如yx3在R上为增函数,但其在0处的导数等于零也就是说f(x)0是yf(x)在某个区间上递增的充分不必要条件2右图为导函数yf(x)的图象,则函数yf(x)的单调区间是什么?提示:单调递增区间:(,3,2,1,3,);单调递减区间:3,2,1,3判断(或证明)函数的单调性 已知函数f(x)ax33x21,讨论函数f(x)的单调性自主解答 由题设知a0.f(x)3ax26x3ax,令f(x)0,得x10,x2.当a0时,若x(,0),则f(x)0.f(x)在区间(,0)上为增函数若x,则f(x)0,f(x)在区间上是增函数当a0时,若x,则f(x)0.f(x)在区间上为增函数若x(0,),则f(x)0,即f(x)0.f(x)在(0,)内为增函数当x(,0)时,ex10,即f(x)0,即0,x0,6x210,x.令f(x)0,即0,6x210,0x.f(x)的单调递增区间为,单调递减区间为.(2)当a0时,f(x)x21,其单调递减区间为(,0),单调递增区间为(0,)当a0(ax2)x0x0x0或x;f(x)0x0,解集在定义域内的部分为单调递增区间;(4)解不等式f(x)0),则h(x)0,即h(x)在(0,)上是减函数由h(1)0知,当0x0,从而f(x)0;当x1时,h(x)0,从而f(x)0.综上可知,f(x)的单调递增区间是(0,1),单调递减区间是(1,)已知函数的单调性求参数范围 已知函数f(x)ln x,g(x)ax22x,a0.(1)若函数h(x)f(x)g(x)存在单调递减区间,求a的取值范围;(2)若函数h(x)f(x)g(x)在1,4上单调递减,求a的取值范围自主解答(1)h(x)ln xax22x,x(0,),所以h(x)ax2.因为h(x)在(0,)上存在单调递减区间,所以当x(0,)时,ax2有解设G(x),所以只要aG(x)min即可而G(x)21,所以G(x)min1.所以a1.即实数a的取值范围是(1,)(2)因为h(x)在1,4上单调递减,所以x1,4时,h(x)ax20恒成立即a恒成立所以aG(x)max.而G(x)21.因为x1,4,所以.所以G(x)max(此时x4)所以a.当a时,h(x)x2.x1,4,h(x)0.即h(x)在1,4上为减函数故实数a的取值范围是.若将本例(2)中“单调递减”改为“单调递增”,如何求a的取值范围?解:h(x)在1,4上单调递增,x1,4时,h(x)ax20恒成立即a 恒成立设G(x),只需aG(x)min.又G(x)21,x1,4,.G(x)min1,a1.经验证:a1时,h(x)在1,4上单调递增,综上所述,a的取值范围为(,1已知f(x)在区间D上单调,求f(x)中参数的取值范围的方法为分离参数法:通常将f(x)0(或f(x)0)的参数分离,转化为求最值问题,从而求出参数的取值范围特别地,若f(x)为二次函数,可以由f(x)0(或f(x)0)恒成立求出参数的取值范围3已知a0,函数f(x)(x22ax)ex,若f(x)在1,1上是单调减函数,则a的取值范围是()A.B.C.D.解析:f(x)(2x2a)ex(x22ax)exx2(22a)x2aex,由题意当x1,1时,f(x)0恒成立,即x2(22a)x2a0恒成立令g(x)x2(22a)x2a,则有即解得a.答案:C证明:方程xsin x0有唯一解巧思方程f(x)0的解即曲线yf(x)与x轴交点的横坐标,因此可以通过构造函数来解决妙解设f(x)xsin x,当x0时,f(0)0,所以x0是方程xsin x0的一个解因为f(x)1cos x,且xR时,f(x)0总成立,所以函数f(x)在R上单调递增所以曲线f(x)xsin x与x轴只有一个交点所以方程xsin x0有唯一解1函数f(x)x33x21的单调递减区间为()A(2,)B(,2)C(,0) D(0,2)解析:f(x)3x26x3x(x2),令f(x)0,得0x0,结合4x4,得4x1或3x4.令f(x)0,结合4x4,得1x3.函数f(x)在4,1)和(3,4上为增函数,在(1,3)上为减函数一、选择题1函数f(x)xln x的单调递减区间为()A(0,1)B(0,)C(1,) D(,0)(1,)解析:函数的定义域是(0,),且f(x)1,令f(x)0,解得0x1,所以单调递减区间是(0,1)答案:A2已知函数f(x)ln x,则有()Af(2)f(e)f(3) Bf(e)f(2)f(3)Cf(3)f(e)f(2) Df(e)f(3)0,所以f(x)在(0,)上是增函数,所以有f(2)f(e)f(3)答案:A3如图为函数yf(x)的导函数yf(x)的图象,那么函数yf(x)的图象可能为()解析:由导函数yf(x)的图象,可知当1x3时,f(x)3或x0,所以yf(x)在(,1)和(3,)上单调递增综上,函数yf(x)的图象的大致形状如A中图所示,所以选A.答案:A4f(x),g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数,当x0时,f(x)g(x)f(x)g(x)0,且f(1)0,则f(x)g(x)0的解集为()A(1,0)(1,) B(1,0)(0,1)C(,1)(1,) D(,1)(0,1)解析:令F(x)f(x)g(x),则F(x)为奇函数,且当x0时,F(x)0,即F(x)在(,0)上为减函数又f(1)0,即F(1)0.F(x)f(x)g(x)0的解集为(1,0)(1,)答案:A二、填空题5若函数yx22bx6在(2,8)内是增函数,则实数b的取值范围是_解析:y2x
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