3 1 函数及其表示 第三章 函数概念与基本初等函数 NEIRONGSUOYIN 内容索引 基础础知识识 自主学习习 题题型分类类 深度剖析 课时课时作业业 1基础知识 自主学习 PART ONE 函数映射 两个集合A B设A B是两个 设A B是两个非空 对应关系 f A B 如果按照某种确定的对应关系f 使对于集合A中的 一个数x 在集合B中都有 的数f x 和它对应 如果按某一个确定的对应关系f 使对于集合A中的 一个元 素x 在集合B中都有 的元素y与之对应 名称 称 为从集合A到集合B的 一个函数 称f A B为从集合A到集合B的 一个映射 函数记法函数y f x x A映射 f A B 1 函数与映射 任意 唯一确定 非空数集集合 知识梳理 ZHISHISHULI 任意 唯一确定 f A B 2 函数的有关概念 1 函数的定义域 值域 在函数y f x x A中 x叫做自变量 x的取值范围A叫做函数的 与x的值相对应的y值叫做 函数值的集合 f x x A 叫做函数的 2 函数的三要素 和 3 函数的表示法 表示函数的常用方法有 和 定义域 函数值值域 定义域对应 关系值域 解析法图象法列表法 3 分段函数 若函数在其定义域的不同子集上 因 不同而分别用几个不同的式 子来表示 这种函数称为分段函数 分段函数的定义域等于各段函数的定义域的 其值域等于各段函数的 值域的 分段函数虽由几个部分组成 但它表示的是一个函数 对应 关系 并集 并集 请你概括一下求函数定义域的类型 提示 1 f x 为分式型函数时 定义域为使分母不为零的实数集合 2 f x 为偶次根式型函数时 定义域为使被开方式非负的实数的集合 3 f x 为对数式时 函数的定义域是真数为正数 底数为正且不为1的实数集合 4 若f x x0 则定义域为 x x 0 5 指数函数的底数大于0且不等于1 概念方法微思考 题组一 思考辨析 1 判断下列结论是否正确 请在括号中打 或 1 对于函数f A B 其值域就是集合B 2 函数f x x2 2x与g t t2 2t是同一函数 3 若两个函数的定义域与值域相同 则这两个函数相等 4 函数f x 的图象与直线x 1最多有一个交点 5 若A R B x x 0 f x y x 其对应是从A到B的映射 6 分段函数是由两个或几个函数组成的 基础自测 JICHUZICE 123456 题组二 教材改编 3 6 123456 3 P25B组T1 函数y f x 的图象如图所示 那么 f x 的定义域是 值域是 其中只有唯一的x值与之对应的y值的范围是 3 0 2 3 123456 1 5 1 2 4 5 题组三 易错自纠 4 已知f x 若f a 2 则a的值为 A 2 B 1或2 C 1或2 D 1或2 123456 解析 当a 0时 2a 2 2 解得a 2 当a 0时 a2 3 2 解得a 1 综上 a的值为 1或2 故选B 5 已知函数f x x x 若f x0 4 则x0的值为 2 解析 当x 0时 f x x2 f x0 4 123456 当x 0时 f x x2 f x0 4 1 123456 又因为y x2 6x 7 x 3 2 2 所以ymin 4 3 2 2 1 2 1 所以其值域为 1 2题型分类 深度剖析 PART TWO 解析 A中函数的定义域不是 2 2 C中图象不表示函数 D中函数值域不是 0 2 故选B 1 若函数y f x 的定义域为M x 2 x 2 值域为N y 0 y 2 则函 数y f x 的图象可能是 题型一 函数的概念 自主演练 2 有以下判断 对于 f x 与g t 的定义域 值域和对应 关系均相同 所以f x 和g t 表示同 一函数 故 正确 综上可知 正确的判断是 函数的值域可由定义域和对应关系唯一确定 当且仅当定义域和对应关系都 相同的函数才是同一函数 值得注意的是 函数的对应关系是就结果而言的 判断两个函数的对应关系是否相同 只要看对于函数定义域中的任意一个相 同的自变量的值 按照这两个对应关系算出的函数值是否相同 思维维升 华华 题型二 函数的定义域问题 多维探究 2 若函数y f x 的定义域是 0 2 018 则函数g x 的定义域是 A 1 2 017 B 1 1 1 2 017 C 0 2 018 D 1 1 1 2 018 解析 使函数f x 1 有意义 则0 x 1 2 018 解得 1 x 2 017 故函数f x 1 的定义域为 1 2 017 解得 1 x 1或1 x 2 017 故函数g x 的定义域为 1 1 1 2 017 本例 2 中 若将 函数y f x 的定义域为 0 2 018 改为 函数f x 1 的定 义域为 0 2 018 则函数g x 的定义域为 引申探究 2 1 1 2 016 解析 由函数f x 1 的定义域为 0 2 018 得函数y f x 的定义域为 1 2 017 所以函数g x 的定义域为 2 1 1 2 016 解析 要使函数的定义域为R 则mx2 4mx 3 0恒成立 当m 0时 显然满足条件 2 若函数f x 的定义域为 x 1 x 2 则a b的值为 解析 函数f x 的定义域是不等式ax2 abx b 0的解集 不等式ax2 abx b 0的解集为 x 1 x 2 1 求给定函数的定义域往往转化为解不等式 组 的问题 在解不等式 组 取交 集时可借助于数轴 要特别注意端点值的取舍 2 求抽象函数的定义域 若y f x 的定义域为 a b 则解不等式a g x b即可求出y f g x 的定义域 若y f g x 的定义域为 a b 则求出g x 在 a b 上的值域即得f x 的定义 域 3 已知函数定义域求参数范围 可将问题转 化成含参数的不等式 然后求解 思维维升 华华 0 2 故所求函数的定义域为 0 2 2 已知函数y f x2 1 的定义域为 则函数y f x 的定义域为 1 2 y f x 的定义域为 1 2 3 若函数f x 的定义域为一切实数 则实 数m的取值范围 是 0 4 解析 当m 0时 f x 的定义域为一切实数 得0 m 4 综上 m的取值范围是 0 4 题型三 求函数解析式 师生共研 2 若f x 为二次函数且f 0 3 f x 2 f x 4x 2 则f x 的解析式为 f x x2 x 3 解析 待定系数法 设f x ax2 bx c a 0 又f 0 c 3 所以f x ax2 bx 3 所以f x 2 f x a x 2 2 b x 2 3 ax2 bx 3 4ax 4a 2b 4x 2 所以所求函数的解析式为f x x2 x 3 函数解析式的求法 1 待定系数法 若已知函数的类型 如一次函数 二次函数 可用待定系 数法 2 换元法 已知复合函数f g x 的解析式 可用换元法 此时要注意新元的 取值范围 3 配凑法 由已知条件f g x F x 可将F x 改写成关于g x 的表达式 然后以x替代g x 便得f x 的解析式 4 消去法 已知f x 与 或f x 之间的关系式 可根据已知条件再构造出 另外一个等式组成方程组 通过解方程组求出f x 思维维升 华华 x2 1 x 1 代入原式有f t t 1 2 2 t 1 t2 2t 1 2t 2 t2 1 故f x x2 1 x 1 即f x x2 1 x 1 2 设y f x 是二次函数 方程f x 0有两个相等实根 且f x 2x 2 则f x 的解析式为f x x2 2x 1 解析 设f x ax2 bx c a 0 则f x 2ax b 2x 2 所以a 1 b 2 f x x2 2x c 又因为方程f x 0有两个相等的实根 所以 4 4c 0 c 1 故f x x2 2x 1 3 函数f x 满足方程2f x f x 2x 则f x 的解析式为 f x 2x 解析 因为2f x f x 2x 将x换成 x得2f x f x 2x 由 消去f x 得3f x 6x 所以f x 2x 题型四 分段函数 命题点1 求分段函数的函数值 例4 2018 台州期末 已知函数f x 则f 0 f f 0 解析 由题意得f 0 20 1 则f f 0 f 1 log31 0 多维探究 10 命题点2 分段函数与方程 不等式问题 例5 2018 浙江十校联盟高考适应性考试 已知函数f x 若f a f 1 0 则实数a的值为 3 解析 方法一 当a 0时 由f a f 1 0得2a 2 0 无解 当a 0时 由f a f 1 0得a 1 2 0 解得a 3 方法二 由题意知f 1 2 0 故由f a f 1 0 结合指数函数的性质知a 0 且f a a 1 2 解得a 3 1 分段函数的求值问题的解题思路 求函数值 先确定要求值的自变量属于哪一段区间 然后代入该段的解 析式求值 当出现f f a 的形式时 应从内到外依次求值 求自变量的值 先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上 然后求 出相应自变量的值 切记要代入检验 2 分段函数与方程 不等式问题的求解思路 依据不同范围的不同段分类讨论求解 最后将讨论结果并起来 思维维升 华华 1 3 解析 由题意知 f 1 2 1 3 f f 1 f 3 32 6a 若f f 1 3a2 则9 6a 3a2 即a2 2a 3 0 解得 1 a 3 3课时作业 PART THREE A 1 0 0 1 B 1 0 0 1 C 1 0 0 1 D 1 0 0 1 基础保分练 12345678910111213141516 解得 1 x 0或0 x 1 所以原函数的定义域为 1 0 0 1 2 2018 浙江嘉兴一中月考 下列四组函数中 表示同一函数的一组是 A f x lg x2 g x 2lg x 解析 A B C中函数的定义域不同 故选D 12345678910111213141516 12345678910111213141516 4 已知函数f x 的定义域为 1 0 则函数f 2x 1 的定义域为 12345678910111213141516 12345678910111213141516 解析 当x 1时 f x x2 2 1 综上可知 函数f x 的值域为 1 故选B 6 2018 浙江知名重点中学考前热身联考 设函数f x 若f f 0 4 则b等于 A 2 B 1 C 2 D 1 12345678910111213141516 解析 f 0 b 当 b 1 即b 1时 f b 3b 4 即b 1时 2 b 4 得b 2 12345678910111213141516 7 如图 AOD是一直角边长为 1的等腰直角三角形 平面图形OBD是四分 之一圆的扇形 点P在线段AB上 PQ AB 且PQ交AD或交弧DB于点Q 设 AP x 0 x 2 图中阴影部分表示的平面图形APQ 或APQD 的面积为 y 则 函数y f x 的大致图象是 12345678910111213141516 解析 观察可知阴影部分的面积y的变化情况为 1 当0 x 1时 y随x的增大而增大 而且增加的速度越来越快 2 当1 x 3 故 3 a 0 解得a 1 故0 a 1 综上可得 3 a 1 故选C 12345678910111213141516 x2 x 1 x 1 即f x x2 x 1 x 1 10 2016 浙江 设函数f x x3 3x2 1 已知a 0 且f x f a x b x a 2 x R 则实数a b 解析 由已知可得 f x f a x3 3x2 1 a3 3a2 1 x3 3x2 a3 3a2 12345678910111213141516 21 结合a 0解得a 2 b 1 11 定义新运算 当m n时 m n m 当m n时 m n n2 设函数 f x 2 x x 4 x x 1 4 则函数f x 的值域为 2 0 4 60 当x 1 2