第八讲 黄金分割与斐波那契数列一、 黄金分割1. 黄金分割的概念德国天文学家开普勒（J.Kepler）曾说“几何学有两大宝藏，其一为毕氏定理，其二为将一线段分成外内比。前者如黄金，后者如珍珠。”所谓将一线段分成“中外比（或称中末比或外内比）”，这是欧几里得在几何原本（公元前三世纪前后）里的说法：A straight line is said to have been cut in extreme and mean radio when, as the whole line is to the greater segment, so is the greater to the less.分一线段为二线段，当整体线段比大线段等于大线段比小线段时，则称此线段被分为中外比。“中外比”指将一线段分成两段不等长的部分，使得长段与短段之比等于全长与长段之比。此比值为，取其前三位数字的近似值是0.618称为黄金比，或黄金数（Golden Number）。一线段中使长段与短段之比为黄金比的那点，称为把此线段黄金分割。有时也将黄金数称为黄金分割。而一长方形，如长比宽等于黄金数，便称此为黄金长方形。其实关于黄金分割的历史，可以追溯到公元前6世纪古希腊的毕达哥拉斯学派，他们已经研究过正五边形和正十边形的作图，因此现代数学家们推断当时毕达哥拉斯学派已经触及甚至掌握了黄金分割。公元前4世纪，古希腊数学家欧多克索斯第一个系统研究了这一问题，并建立起比例理论。而几何原本是吸收了欧多克索斯的研究成果，进一步系统论述了黄金分割，成为最早的有关黄金分割的论著。中世纪后，黄金分割被披上神秘的外衣，意大利数学帕乔利称之为神圣比例，并专门为此著书立说。德国天文学家开普勒称之为神圣分割。当时，人们都还是称之为“中外比”，直到19世纪初，黄金分割这个名称才出现。2. 黄金分割在各领域中的应用（1） 人体中的黄金分割：人的肚脐眼原是胎儿在母体中吸收养分的重要器官，其所在高度与一个人身高的比值恰为0.618。此外，人体结构还有一些黄金分割点，脸庞的分割点在眉毛，上肢的分割点在肘关节，肚脐以下部分的分割点在膝盖，肚脐以上部分的分割点在咽喉。（2） 芭蕾舞中的应用：芭蕾舞演员的身段是苗条的，但下半身与身高的比值也只有0.58左右，演员在表演时掂起脚尖，身高就可以增加6-8cm.这时比值就接近0.618了,给人以更为优美的艺术形象。（3） 医学中的应用：许多民间名医在肚脐上贴药治好了某些疾病。人体最感舒适的温度是23(体温)，也是正常人体温（37）的黄金点（23=370.618）。这说明医学与0.618有千丝万缕联系,尚待开拓研究。（4） 在建筑学上的应用：例如：巴黎圣母院的正立面的宽度和高度之比为0.618。（5） 在植物中的应用：例如叶子中的黄金分割：主叶脉与叶柄和主叶脉的长度之和比约为0.618。（6） 在日常生活中的应用：例如最美纸扇（张开角是140度的纸扇最美）；又如最好吃的馒头（发酵粉的量的10倍与面粉的比值是0.618 ）；等等。（7） 在音乐中的应用：例如小提琴（柄和琴身符合黃金比例）；又如二胡演奏中，“千金”分弦的比符合0.618 。（8） 在摄影作品中的应用：（9） 在动物界，形体优美的动物形体，如马，骡、狮、虎、豹、犬等，凡看上去健美的，其身体部分长与宽的比例也大体上接近与黄金分割如：蝴蝶身长与双翅展开后的长度之比也接近0.618。 （10） 其它应用：打开地图，你会发现那些好茶产地大多位于北纬30度左右。特别是红茶中的极品“祁红”，产地在安徽的祁门，也恰好在此纬度上。这不免让人联想起许多与北纬30度有关的地方。奇石异峰，名川秀水的黄山，庐山，九寨沟等等。衔远山，吞长江的中国三大淡水湖也恰好在这黄金分割的纬度上。二、 斐波那契数列1. 斐波那契斐及波那契数列相关概念斐波那契（Fibonacci.L,11751250）：是中世纪最杰出的数学家，出生于意大利的比萨（Pisa）。由于父亲是位商人，长年在北非从事贸易活动，斐波那契从小就跟随穆斯林老师学习，并游历过埃及、叙利亚、希腊等国。学习了许多东方数学知识，特别是各国的算术系统。他认为“印度阿拉伯数字”是最好的记数符号。回国后不久，便写出了一本数学著作，名为算法之书，在这里提出了兔子的繁殖问题，这就是“斐波那契数”的来历。 问题是这样的：“如果每一对兔子每月能生一对新兔（总是一公一母），而每一对新兔在出生后得第三个月里开始生一对新兔（还是一公一母），假定在不发生死亡情况之下，一对初生的兔子在一年末能繁殖成多少对？”分析：现在假定去年12月里有一对初生的兔子，在二月份里，这对兔子生了一对小兔，总共有2对；在三月份里，仍然只有原来的一对能生小兔，所以总共是3对；在四月份里，因为二月份出生的兔子会生小兔子，因此，这个月生了2对小兔，总共就有5对了；在五月份里，又增加了三月份出生的兔子生小兔，这一个月就能生3对，所以总共有8对；依同样的方法算出各个月份兔子的总对数，如表1中所列出的数字。表1月份12123456789101112兔子对数1123581321345589144233从表1中排列各个月份的兔子对数，我们发现了一个有趣的规律，就是后面一个月的兔子总对数恰好等于前面两个月兔子总对数的和。现在把各月份的兔子对数，排成一列数为：1,1,2,3,5,8，233，上面这一列数就称为斐波那契数列。其特征是每一项均为前两项之和，即，这个数列的每一项叫做斐波那契数。2. 斐波那契数列的一些简单性质（1） 第3、6、9、12等项的数字能被2整除；第4、8、12等项的数字能被3整除；第5、10等项的数字能被5整除；其余依此类推。（2） 连续10个斐波那契数之和，必定等于第7个数的11倍！3. 斐波那契数列的存在可以说，费波那契数列无处不在，以下仅举几个常见的例子：（1） 海洋中的螺线，如海螺（2） 3,5,8,13,21,34,55,89，这一串由兔子繁殖问题产生的数，成为花的瓣数中存在的一个奇特模式：几乎所有的花，其瓣数都在这串数中：百合花3瓣；毛茛属植物花有5瓣；许多翠雀属植物花有8瓣；万寿菊花13瓣；紫菀属植物花21瓣；大多数雏菊为34、55、89瓣，其他瓣数则很少。（3） 树木的生长，由于新生的枝条往往需要一段“休息”时间，供自身生长，而后才能萌发新枝。所以，一株树苗在一段间隔（如图7-16），例如一年，以后长出一条新枝；第二年新枝“休息”，老枝依旧萌发；此后，老枝与“休息”过一年的枝同时萌发，当年生的新枝则次年“休息”。这样，一株树木各个年份的枝丫数，便构成费波那契数列。这个规律，就是生物学上著名的“鲁德维格定律”。（4） 观察向日葵，你会发现子盘中的小花呈现两族相向螺线排列。有些品种顺时针螺线数是34，逆时针的为55；也有的是55和89，甚至是89和144。 （5） 松子种子的排列。（6） 菜花表面排列的螺线数。（7） 菠萝有8行向左旋的鳞苞，还有13行向右旋的鳞苞。（8） 杨辉三角对角线上各数之和构成费波那契数列。1 7 21 35 35 131 6 15 20 15 81 5 10 10 5 151 4 6 4 131 3 3 121 2 111 111杨辉三角形Fn （9） 在建筑学上的应用，例如：古希腊巴特农神庙，等。（10） 在美术中的应用，例如达芬奇的作品蒙娜丽莎的微笑（11） 斐波那契数列与音乐，例如：钢琴上黑白键的数目设置三、 斐波那契数列与黄金分割之间的关系科学家发现斐波那契数列与黄金分割有联系斐波那契数列的前、后项之比的极限为黄金分割率：。