信号分析与处理 第2 1页 第2章 连续时间信号与系统的时域分析 2 1连续时间基本信号 2 2信号的基本运算 2 3信号的卷积运算及卷积性质 2 4连续时间LTI系统的时域分析 2 5 LTI系统的零输入响应 2 6 LTI系统的零状态响应 2 7连续时间系统时域分析的MATLAB实现 1 信号分析与处理 第2 2页 时域分析 以冲激函数为基本信号 任意输入信号可分解为一 系列冲激函数 而 这里用于系统分析的独立变量是时间 频域分析 本章将以正弦信号和虚指数信号e j t为基本信号 任意输入信号可分解为一系列不同频率的正弦信号或虚 指数信号之和 这里用于系统分析的独立变量是频率 第二章 连续时间信号与系统的时域分析 2 信号分析与处理 第2 3页 2 1 连续时间基本信号 2 1 连续时间基本信号 阶跃信号和冲激信号都是奇异信号 阶跃信号与冲激信号是两种最基本的理想信号模型 阶跃信号和冲激信号在信号分析与处理中占有重要地位 3 信号分析与处理 第2 4页 2 1 1 单位阶跃信号 突然接入的直流电压 突然接通又马上断开电源 1 阶跃信号的物理背景 开关作用 n 函数 序列 n t 2 1 连续时间基本信号 4 信号分析与处理 第2 5页 2 阶跃信号的数学描述 延迟时间的阶跃函数 单位阶跃函数 3 阶跃信号的单边特性 对函数 t 0 部分的截取 2 1 连续时间基本信号 5 信号分析与处理 第2 6页 5 用阶跃函数闭式表示分段光滑信号 4 阶跃信号的加窗特性 对脉冲范围内的截取 2 1 连续时间基本信号 6 信号分析与处理 第2 7页 6 单位阶跃函数的积分为单位斜坡信号 2 1 连续时间基本信号 7 信号分析与处理 第2 8页 1 冲激信号的物理背景 冲激信号反映一种持续时间极短 函数值极大 的脉冲信号的极限 如 雷击电闪 短促而强烈的 干扰信号 瞬间作用的冲击等等 2 1 2 单位冲激信号 2 1 连续时间基本信号 8 信号分析与处理 第2 9页 单位冲激信号的特征 宽度无穷小 脉宽 高度无穷大 脉高 面积为1 强度为1 的窄脉冲 2 1 连续时间基本信号 9 信号分析与处理 第2 10页 2 1 连续时间基本信号 注 意 图 中K 为 强 度 要 括 住 2 冲激信号 t 的数学描述 延迟单位冲激 1 t 的狄拉克定义 单位冲激函数 一般冲激信号 10 信号分析与处理 第2 11页 3 冲激函数的性质 1 与普通函数 x t 的乘积 筛分性质 若x t 在 t 0 t t0处存在 则 x t t x 0 t x t t t0 x t0 t t0 冲激函数把信号在冲激时刻的值 筛分 出来 赋给冲激 函数作为冲激强度 连续信号与冲激函数相乘再积分 等于冲激时刻的信号值 这 就是抽样性质 2 与普通函数 x t 的乘积再积分 抽样性质 2 1 连续时间基本信号 11 信号分析与处理 第2 12页 也称为抽 样性质 12 信号分析与处理 第2 13页 4 冲激函数与阶跃函数关系 可见 引入冲激函数之后 间断点的导数也存在 如 x t 2 t 1 2 t 1 x t 2 t 1 2 t 1 求导 2 1 连续时间基本信号 13 信号分析与处理 第2 14页 其中a为不等于0的实常数 5 冲击函数尺度变换性质 展缩性质 当取a 1时 有 为偶对称函数 2 1 连续时间基本信号 14 信号分析与处理 第2 15页 证明 当a 0时 根据函数 的定义 有 x t 为为任一在t 0处连续处连续 的常规规函数 2 1 连续时间基本信号 15 信号分析与处理 第2 16页 当a 0时 令 同样可证 因此 尺度变换性质 得证 当取a 1时 有 为偶对称函数 2 1 连续时间基本信号 16 信号分析与处理 第2 17页 2 1 3 冲激偶信号 为偶函数 1 冲激偶信号的数学描述 为奇函数 2 1 连续时间基本信号 17 信号分析与处理 第2 18页 2 冲激偶信号的性质 1 与普通函数 x t 的乘积 筛分性质 2 抽样性质 注意 而 2 1 连续时间基本信号 18 信号分析与处理 第2 19页 0 t 例 简化下列表达式 2 1 连续时间基本信号 19 信号分析与处理 第2 20页 例 已知求 解 20 信号分析与处理 第2 21页 2 1 4 指数信号 1 指数信号的数学描述 1 实指数信号 指数规律增长 指数规律衰减 直流 2 1 连续时间基本信号 21 信号分析与处理 第2 22页 2 复指数信号 增幅振荡衰减振荡等幅振荡 复指数信号是连续信号与系统的复频域分析中使用的基本信号 其中复频率s中的实部绝对值的大小反映了信号增长或衰减的 速率 虚部的大小反映了信号振荡的频率 2 1 连续时间基本信号 22 信号分析与处理 第2 23页 2 用虚指数信号表示正余弦信号 2 1 连续时间基本信号 23 信号分析与处理 第2 24页 信号的时域自变量变换 移位变换 反转变 换 尺度变换 信号的分解与合成 信 号的微分 积分 1 2 信号的基本运算 1 2 1 2 信号的基本运算信号的基本运算 24 信号分析与处理 第2 25页 2 2 1 信号的自变量变换 例 连续信号 x t 移位 若 信号沿时间轴正方向移位 a 左移t0 t0 0 b 原始信号 c 右移 t0 t0 0 将 1 移位变换 若 信号沿时间轴反方向移位 25 信号分析与处理 第2 26页 a 左移n0 n0 0 b 原始信号 c 右移n0 n0 0 离散时间信号的移位 离散时间信号 和 n0为正整数 则分别相当于将x n 右移和左移n0个序号 26 信号分析与处理 第2 27页 2 反转变换 将 以纵坐标为轴反转 旋转180 度 即把信 号的过去与未来对调 将 例 连续信号反转 离散信号反转 27 信号分析与处理 第2 28页 例 视频示例 正常视频反转视频 28 信号分析与处理 第2 29页 3 尺度变换 横坐标展缩 信号压缩 原信号 信号扩展 例 若 波形 沿横坐标压缩 则为扩展 相当于改变观察时间的量度 29 信号分析与处理 第2 30页 序列的尺度变换与连续时间的有所不同 由于序号只能为整数 当a 1的正整数时 要丢失x n 的一些信息 而a 1正整数时 x要填入必要的零值 n 信号的尺度变换 x n x n 2 x 2n 信号压缩 原信号 信号扩展 30 信号分析与处理 第2 31页 例 尺度变换变换后语音信号的变化 f t f 1 5t f 0 5t 31 信号分析与处理 第2 32页 例 音频示例 32 信号分析与处理 第2 33页 例 视频示例 正常视频 慢放视频 快放视频 33 信号分析与处理 第2 34页 4 综合变换 设 顺序 尺度 平移 顺序不能变 顺序 尺度 反转 平移 前两种变换可以交换 顺序 平移必须在最后 注意始终对时间 t 进行变换 顺序 平移 尺度 反转 后两种变换可以交换 顺序 平移必须在最前 2 解析法 1 图解法 设 34 信号分析与处理 第2 35页 顺序 反转 尺度 平移变换 解 1 图解法 例8 的波形如图所示 画出 的波形 x 2t 1 x 2 t 1 2 35 信号分析与处理 第2 36页 2 解析法 36 信号分析与处理 第2 37页 例 x t 的波形如图所示 画出 x 2t 1 的波形 x 2t 1 x 2 t 1 2 顺序 尺度 反转 平移变换 37 信号分析与处理 第2 38页 例 x t 的波形如图所示 画出 x 2t 1 的波形 x 2t 1 x 2 t 1 2 38 信号分析与处理 第2 39页 例 f t 的波形如图所示 画出 f 0 5t 2 的波形 f 0 5 t 4 39 信号分析与处理 第2 40页 例 x 2t 1 的波形如图所示 画出 x t 的波形 x 2t 1 x 2 t 1 2 顺序 平移 反转 尺度变换 40 信号分析与处理 第2 41页 41 信号分析与处理 第2 42页 作业 2 1 2 4 6 2 4 2 5 42 信号分析与处理 第2 43页 2 2 2 信号的分解与合成 1 信号分解成矩形脉冲 43 信号分析与处理 第2 44页 2 2 2 信号的分解与合成 1 信号分解成矩形脉冲 时域里任一函数可近似地分解为一系列矩形脉冲之和 而当矩 形脉冲宽度趋于无限小时 上述矩形脉冲变成了冲激 任意连 续信号可表示为无限多个不同加权的冲激信号之和 任意连续信号可以表示为无限多个不同加权的冲激信号之和 44 信号分析与处理 第2 45页 2 2 2 信号的分解与合成 2 信号分解为正交函数分量 1 正交函数 信号正交 45 信号分析与处理 第2 46页 2 正交函数集 若n个函数g 1 t g 2 t g n t 构成一个函数集 当这 些函数在区间 t1 t2 内满足 则称此函数集为在区间 t1 t2 的正交函数集 46 信号分析与处理 第2 47页 2 2 2 信号的分解与合成 2 信号分解为正交函数分量 3 完备正交函数集 47 信号分析与处理 第2 48页 2 2 2 信号的分解与合成 3 完备正交函数集 48 信号分析与处理 第2 49页 2 2 2 信号的分解与合成 3 完备正交函数集 49 信号分析与处理 第2 50页 2 2 2 信号的分解与合成 4 函数的正交分解 帕塞瓦尔定理 50 信号分析与处理 第2 51页 2 2 2 信号的分解与合成 3 信号合成 两信号 的 指同一时刻 两信号之值对应相加 减 乘 信号处理的任务之一是产生合成信号 它是由对多个基本信 号的各种运算完成的 51 信号分析与处理 第2 52页 2 积分 信号经微分后突出了变化部分 信号经积分后平滑了变化部分 1 微分 2 2 3 连续信号的微分与积分运算 52 信号分析与处理 第2 53页 2 2 3 连续信号的微分与积分运算 利用对信号微分的突出变化作用 可以检测异常状况发生的时间和 特征 利用对信号积分的平滑作用可以削弱信号中混入的毛刺 噪声 的 影响 53 信号分析与处理 第2 54页 2 3 1卷积运算的定义 对于任意两个信号x1 t 和x2 t 两者的卷积 运算定义为 2 3 信号的卷积运算及卷积性质 54 信号分析与处理 第2 55页 2 3 2 卷积的图解方法 公式 步骤 1 变量代换 由t 改为 2 反转 3 移位 在 坐标系中 t 0图形右移 t 0图形左移 4 两信号重叠部分相乘 5 完成相乘后图形的积分 即求上述乘积曲线下 的面积 55 信号分析与处理 第2 56页 n卷积的图解说明 例 已知 求 解 56 信号分析与处理 第2 57页 n卷积的图解说明 例 已知 求 解 1 t 0 57 信号分析与处理 第2 58页 n卷积的图解说明 例 已知 求 解 1 t 0 2 0 t 1 58 信号分析与处理 第2 59页 n卷积的图解说明 例 已知 求 解 1 t 0 2 0 t 1 3 1 t 2 59 信号分析与处理 第2 60页 n卷积的图解说明 例 已知 求 解 1 t 0 2 0 t 1 3 1 t 2 4 2 t 3 60 信号分析与处理 第2 61页 n卷积的图解说明 例 已知 求 解 1 t 0 2 0 t 1 3 1 t 2 4 2 t 3 于是 61 信号分析与处理 第2 62页 n 卷积的图解说明 例 已知系统的单位冲激响应 输入信号如右图所示 求系统响应 解 输入信号为 用下式计算响应 1 t 1 区间 62 信号分析与处理 第2 63页 n 卷积的图解说明 例 已知系统的单位冲激响应 输入信号如右图所示 求系统响应 解 输入信号为 用下式计算响应 2 1 t 0 区间 1 t 1 区间 63 信号分析与处理 第2 64页 n 卷积的图解说明 例 已知系统的单位冲激响应 输入信号如右图所示 求系统响应 解 输入信号为 用下式计算响应 2 1 t 0 区间 3 0 t 1 区间 1 t 1 区间 64 信号分析与处理 第2 65页 n 卷积的图解