3 1 4 空 间向量的 直角坐标 运算 1 了解空间向量坐标的定义 2 掌握空间向量的坐标运算 3 会利用向量的坐标关系 判定两个向量共线或垂直 4 会计算向量的长度及两向量的夹角 1 空间向量的坐标表示 1 单位正交基底 建立空间直角坐标系Oxyz 分别沿x轴 y轴 z轴的正方向引单位 向量i j k 这三个互相垂直的单位向量构成空间向量的一个基底 i j k 这个基底叫做单位正交基底 单位向量i j k都叫做坐标向量 做一做1 1 设 e1 e2 e3 是空间向量的一个单位正交基底 则 e1 e2 e3 答案 3 2 空间向量的坐标表示 在空间直角坐标系中 已知任一向量a 根据空间向量分解定理 存 在唯一实数组 a1 a2 a3 使a a1i a2j a3k a1i a2j a3k分别为向量a在 i j k方向上的分向量 有序实数组 a1 a2 a3 叫做向量a在此直角坐标 系中的坐标 上式可简记作a a1 a2 a3 做一做1 2 向量0的坐标为 答案 0 0 0 名师点拨向量的坐标与点的坐标表示方法不同 如 向量a x y z 点A x y z 2 空间向量的直角坐标运算 1 设a a1 a2 a3 b b1 b2 b3 则容易得到 a b a1 b1 a2 b2 a3 b3 a b a1 b1 a2 b2 a3 b3 a a1 a2 a3 a b a1b1 a2b2 a3b3 2 向量在空间直角坐标系中的坐标的求法 设 A x1 y1 z1 B x2 y2 z2 做一做2 设a 1 2 3 b 1 1 1 则2a b 答案 3 5 7 3 空间向量平行和垂直的条件 设a a1 a2 a3 b b1 b2 b3 则 1 a b b 0 a b a1 b1 a2 b2 a3 b3 2 a b a b 0 a1b1 a2b2 a3b3 0 做一做3 设a 1 2 3 b 1 1 x 若a b 则x 做一做4 向量a 2 1 1 b 1 1 0 的夹角余弦值为 名师点拨1 空间向量的坐标是空间向量的一种形式 在坐标形式 下的模长公式 夹角公式 向量平行和垂直的条件与在普通基底 下相同 仅仅是形式不同 2 空间向量在坐标形式下同样可以用来求距离 长度 夹角 证 明垂直和平行关系等 如何理解空间向量的坐标及其运算 剖析 1 注意空间向量的坐标与向量终点的坐标的区别与联系 向量的坐标是其终点与起点坐标的差量 只有以原点为起点的向量 向量的坐标才等于向量终点的坐标 2 空间向量的坐标运算和平面向量基本一致 只是多了一个竖坐 标 3 坐标形式下向量的计算就是指坐标的运算 题型一题型二题型三 空间向量的坐标运算 例1 设向量a 3 5 4 b 2 1 8 计算3a 2b a b a b 分析 利用空间向量的坐标运算先求3a 2b a b a b 再进行相关运 算 解 3a 9 15 12 2b 4 2 16 3a 2b 9 15 12 4 2 16 9 4 15 2 12 16 5 13 28 a b 3 5 4 2 1 8 3 2 5 1 4 8 5 6 4 a b 3 5 4 2 1 8 3 2 5 1 4 8 1 4 12 a b a b 5 6 4 1 4 12 5 1 6 4 4 12 5 24 48 19 反思空间向量的坐标运算首先进行数乘运算 然后再进行加减运 算 最后进行数量积运算 先算括号内的后算括号外的 题型一题型二题型三 空间向量的平行与垂直问题 例2 设向量a 1 x 1 x b 1 x2 3x x 1 求满足下列条件时 实数x的值 1 a b 2 a b 分析 解答本题可先由a b a b分别建立关于x的方程 再解方程 即可 解 1 当x 0时 a 1 0 1 b 1 0 1 a b 满足a b 当x 1时 a 1 1 0 b 0 3 2 不满足a b x 1 题型一题型二题型三 反思要熟练掌握向量平行和垂直的条件 借助此条件可将立体几 何中的平行垂直问题转化为向量的坐标运算 在应用坐标形式下的 平行条件时 一定注意结论成立的前提条件 在条件不明确时要分 类讨论 题型一题型二题型三 空间向量的夹角及长度公式的应用 题型一题型二题型三 题型一题型二题型三 反思运用空间向量的坐标运算解决立体几何问题的基本思路 1 建立空间直角坐标系 2 求出相关点的坐标和向量坐标 3 结合公式进行计算 4 将计算的向量结果转化为几何结论 123456 12345 2 下面各组向量不平行的是 A a 1 0 0 b 3 0 0 B c 0 1 0 d 1 0 1 C e 0 1 1 f 0 1 1 D g 1 0 0 h 0 0 0 解析 A项中b 3a a b C项中f e f e D项中h 0 h g 答案 B 6 12345 3 已知a 1 1 x b 1 2 1 c 1 1 1 且 c a 2b 2 则x的值为 A 3B 4C 2D 1 解析 c a 2b 0 0 1 x 2 4 2 2 2 1 x 2 x 2 答案 C 6 123456 123456 123456 6 已知向量a 2 2 0 b 2 0 2 求向量n使n a 且n b 解 设n x y z 则n a x y z 2 2 0 2x 2y 0 n b x y z 2 0 2 2x 2z 0 于是向量n x x x x 1 1 1 x R