1 1 复习旧知 请说说我们是如何给圆心角下定义的 试回答 顶点在圆心的角叫圆心角圆心角 考考你 你能仿照圆心角的定义 给下图中象 ACB 这样的角下个定义吗 顶点在圆上 并且两边都和圆 相交的角叫做圆周角圆周角 特征 角的顶点在圆上 角的两边都与圆相交 2 2 探索 判断下列各图中 哪些是圆周角 为什么 圆外角 圆内角 3 3 证明你的猜想证明你的猜想 1 1 圆心在 圆心在 BACBAC的一边上的一边上 A O B C 由于OA OC 因此 C BAC 而 BOC BAC C 所以 BAC BOC 1 2 4 4 O A BC 2 2 圆心在 圆心在 BACBAC的内部的内部 D 作直径AD 由于 BAD BOD 1 2 DAC DOC 1 2 所以 BAD DAC BOD DOC 1 2 即 BAC BOC 1 2 5 5 O A B C 3 3 圆心在 圆心在 BACBAC的外部的外部 D 作直径AD 由于 DAB DOB 1 2 DAC DOC 1 2 所以 DAC DAB DOC DOB 1 2 即 BAC BOC 1 2 6 6 结论1 在同圆或等圆中 同弧或等弧 所对的圆周角相等 都等于该弧或等 弧所对的 圆心角的一半 相等的圆周角所对的弧也相等 ACB ADB 如图 则有 ACBADB 7 7 在同圆或等圆中 如果两个圆 周角相等 它们所对弧一定相 等吗 为什么 在同圆或等圆中 相等的圆周角所对 的弧相等 8 8 如图23 1 9 线段AB是 O的直径 点C是 O上任意一点 除点A B 那么 ACB就是直径AB所对的圆周角 想想看 ACB会是怎么样的角 9 9 我们可以看到 OA OB OC 所以 AOC BOC都是等腰三角形 因而 OAC OCA OBC OCB 又 OAC OBC ACB 180 所以 ACB OCA OCB 90 如图 1010 半圆或直径所对的圆周角半圆或直径所对的圆周角 都相等 都等于都相等 都等于90 90 直角 直角 反过来也是成立的 即 90 的圆周角所对的弦是圆的直径 结论2 1111 归纳 归纳 归纳 归纳 在在同圆同圆或或等圆等圆中中 如果如果 两两 个圆心角个圆心角 两个圆周角两个圆周角 两条两条 弧弧 两条弦两条弦 两条弦心距两条弦心距 中中 有一组量相等有一组量相等 那么它们所那么它们所 对应的其余各组量都分别相等对应的其余各组量都分别相等 1212 圆内接多边形圆内接多边形 所有顶点都在所有顶点都在 同一圆上的多边形 同一圆上的多边形 结论3 圆内接四边形对角互补 O B C D A 圆内接四边形的对角有何数量关系 1313 例1 如图 O直径AB为10cm 弦AC为6cm ACB平分线 交 O于D 求BC AD BD的长 四边形 ACBD的面积 又在Rt ABD中 AD2 BD2 AB2 解 AB是直径 ACB ADB 90 在Rt ABC中 CD平分 ACB AD BD AD BD 例题讲解 1414 练一练练一练 1 1 如图 在 如图 在 OO中 中 ABC 50 ABC 50 则则 AOCAOC等于 等于 A A 50 50 B B 80 80 C C 90 90 D D 100 100 A C B O D 2 2 如图 如图 ABCABC是等边三角形 是等边三角形 动点动点P P在圆周的劣弧在圆周的劣弧ABAB上 且不上 且不 与与A A B B重合 则重合 则 BPCBPC等于 等于 A A 30 30 B B 60 60 C C 90 90 D D 45 45 C A B P B 1515 3如图 点A B C D在同一个圆上 四边形ABCD 的对角线把4个内角分成8个角 这些角中哪些是相 等的角 A B D C 1 2 3 4 5 6 7 8 1 4 5 8 2 7 3 6 利用同弧所对的圆周角的相等练习 1616 1 一个概念 圆圆周角 内容小结 2 一个定理 等于该 弧所对的圆心角的一半 3 二个推论 同圆或等圆中 相等的圆周角所对弧相等 半圆或直径所对的圆周角是直角 90 的圆周角所对的弦是直径 同圆或等圆中 同弧或等弧所对的 圆周角相等 1717 1 如图 在直径为AB的半圆中 O为圆心 C D 为半圆上的两点 COD 50 则 CAD 25 3 右图是一个圆形的零件 你能 告诉我 它的圆心的位置吗 你有 什么简捷的办法 2 在圆中 一条弧所对的圆心角和 圆周角分别为 2x 100 和 5x 30 求这条弧所对的 圆心角和圆周角的度数 1818 如图 你能设法确定一个圆形纸片的圆心吗 你有多少 种方法 与同学交流一下 D A B C O O O 方法一 方法二 方法三 方法四 A B 1919 圆的认识 2020 1 1 圆周角定义圆周角定义 顶点在圆上顶点在圆上 并且并且两边都和圆相两边都和圆相 交交的角叫圆周角的角叫圆周角 3 3 在同圆在同圆 或等圆或等圆 中 同弧或等弧所对的圆周中 同弧或等弧所对的圆周 角相等角相等 都等于该弧所对的圆心角的一半 相都等于该弧所对的圆心角的一半 相 等的圆周角所对的弧相等 等的圆周角所对的弧相等 2 2 半圆或直径所对的圆周角都相等 都等半圆或直径所对的圆周角都相等 都等 于于90 90 90 90 的圆周角所对的弦是圆的直径的圆周角所对的弦是圆的直径 复习旧知 4 圆内接四边形对角互补 2121 例题讲解 例 1 如图 P是 圆上的一点 APC CPB 60 求证 ABC是等边三角形 A P B C O 证明 ABC和 APC 都是 所对的圆周角 AC ABC APC 60 同弧所对的圆周角相等 同理 BAC和 CPB都是 所对的圆周角 BC BAC CPB 60 ABC等边三角形 2222 例例 2 2 已知 如图 在 ABC中 AB AC 以AB为直径的圆交BC于D 交AC于E 求证 BD DE 证明 连结AD AB是圆的直径 点D在圆上 ADB 90 AD BC AB AC AD平分顶角 BAC 即 BAD CAD BD DE 同圆或等圆中 相等的圆周角所对弧相 等 A B C D E 2323 如图 在 O中 AB为直径 CB CF 弦CG AB 交AB于D 交BF于E 求证 BE EC 例例3 3 2424 求证 如果三角形一边上的中线等于这边的一半 那么这个三 角形是直角三角形 提示 作出以这条边为直径的圆 AB C O 求证 ABC 为直角三角形 证明 CO AB 以AB为直径作 O AO BO AO BO CO 点C在 O上 又 AB为直径 ACB 90 已知 ABC 中 CO为AB边上的中线 且CO AB ABC 为直角三角形 例例4 4 2525 1 已知 O中弦AB等于半径 求弦AB所对的圆心角和圆周角的度数 O A B 圆心角为60度 圆周角为 30 度 或 150 度 练 习 2626 2 如图 AB是 O的直径 C D是圆上的两点 若 ABD 40 则 BCD AB O C D 40 2727 4 如图 圆心角 AOB 100 则 ACB O A B C B A O 70 x 3 求圆中角X的度数 A O X 120 5 如图 在直径为AB的半圆中 O 为圆心 C D为半圆上的两点 CAD 260 则 COD 35 120 130 52 2828 6 AB AC为 O的两条弦 延长CA到D 使 AD AB 如果 ADB 35 求 BOC的度数 7 如图 在 O中 BC 2DE BOC 84 求 A的度数 BOC 140 A 21 2929 8如图 已知OA OB是 O 的半径 点C为AB的中点 M N分别为OA OB的 中点 求证 MC NC 3030 9如图 BC为 O的直径 OA是 O的半径 弦BE OA 求证 AC AE 3131 1 一个概念 圆圆周角 内容小结 2 一个定理 等于该 弧所对的圆心角的一半 3 二个推论 同圆或等圆中 相等的圆周角所对弧相等 半圆或直径所对的圆周角是直角 90 的圆周角所对的弦是直径 同圆或等圆中 同弧或等弧所对的 圆周角相等 3232