4 1 定积分的概念 观察下列演示过程 注意当分割加细时 矩形面积和与曲边梯形面积的关系 观察下列演示过程 注意当分割加细时 矩形面积和与曲边梯形面积的关系 观察下列演示过程 注意当分割加细时 矩形面积和与曲边梯形面积的关系 观察下列演示过程 注意当分割加细时 矩形面积和与曲边梯形面积的关系 观察下列演示过程 注意当分割加细时 矩形面积和与曲边梯形面积的关系 观察下列演示过程 注意当分割加细时 矩形面积和与曲边梯形面积的关系 观察下列演示过程 注意当分割加细时 矩形面积和与曲边梯形面积的关系 观察下列演示过程 注意当分割加细时 矩形面积和与曲边梯形面积的关系 观察下列演示过程 注意当分割加细时 矩形面积和与曲边梯形面积的关系 观察下列演示过程 注意当分割加细时 矩形面积和与曲边梯形面积的关系 观察下列演示过程 注意当分割加细时 矩形面积和与曲边梯形面积的关系 观察下列演示过程 注意当分割加细时 矩形面积和与曲边梯形面积的关系 观察下列演示过程 注意当分割加细时 矩形面积和与曲边梯形面积的关系 求由连续曲线y f x 对应的曲边梯形面积的方法 2 取近似求和 任取xi xi 1 xi 第i个小曲边梯形的面积用 高为f xi 而宽为Dx的小矩形面积 f xi Dx近似之 3 取极限 所求曲边梯形的 面积S为 取n个小矩形面积的和作为曲边梯 形面积S的近似值 xi y f x x y Oba xi 1xi 1 分割 在区间 0 1 上等间隔地插入n 1个点 将它等分成 n个小区间 每个小区间宽度 x 一 定积分的定义 如果当n 时 S 的无限接近某个常数 这个常数为函数f x 在区间 a b 上的定积分 记作 从求曲边梯形面积S的过程中可以看出 通过 四步曲 分割 近似代替 求和 取极限得到解决 定积分的定义 定积分的相关名称 叫做积分号 f x 叫做被积函数 f x dx 叫做被积表达式 x 叫做积分变量 a 叫做积分下限 b 叫做积分上限 a b 叫做积分区间 被积函数 被积表达式 积分变量 积分下限 积分上限 按定积分的定义 有 1 由连续曲线y f x f x 0 直线x a x b及 x轴所围成的曲边梯形的面积为 2 设物体运动的速度v v t 则此物体在时间区间 a b 内运动的距离s为 定积分的定义 1x y O f x x2 O v t 1 2 说明 1 定积分是一个数值 它只与被积函数及积分区间有关 而与积分变量的记法无关 即 b a f x dx b af x dx 3 2 定积分的几何意义 Ox y ab y f x x a x b与 x轴所围成的曲边梯形的面积 当f x 0时 由y f x x a x b 与 x 轴所围成的 曲边梯形位于 x 轴的下方 x y O ab y f x y f x S 上述曲边梯形面积的负值 定积分的几何意义 S ab y f x Ox y 探究 根据定积分的几何意义 如何用定积分表示图中阴影部分的 面积 a b y f x Ox y 三 定积分的基本性质 性质1 性质2 三 定积分的基本性质 定积分关于积分区间具有可加性性质3 Ox y ab y f x 性质 3 不论a b c的相对位置如何都有 ab y f x cOx y 例1 利用定积分的定义 计算 的值