1 3 模拟方法 概率的应用 2 首页 3 课前篇 自主预习 1 几何概型的定义与特点 1 定义 向平面上有限区域 集合 G内随机地投掷点M 若点M落在子区域 G1 G的概率与G1的面积成正比 而与G的形状 位置无关 即 则称这种模型为几何概型 2 特点 试验中所有的可能出现的结果 基本事件 有无限多个 每个基本事件出现的可能性相等 4 课前篇 自主预习 名师点拨几何概型的概率计算方法 1 把实际问题转化为几何图形问题 2 计算基本事件空间与事件A包含的基本事件对应的区域测度 长度 面积 体积 角度等大小 3 计算比值利用 P A 5 课前篇 自主预习 做一做 几何概型与古典概型的区别是 A 几何概型的基本事件是等可能的 B 几何概型的基本事件的个数是有限的 C 几何概型的基本事件的个数是无限的 D 几何概型的基本事件不是等可能的 解析 几何概型是无限多个等可能事件的情况 而古典概型中的 等可能事件只有有限多个 答案 C 6 课前篇 自主预习 2 模拟方法 虽然可以通过做大量重复试验用随机事件发生的频率来估计其概 率 但是 人工进行试验费时 费力 并且有时很难实现 因此 我们常 常借助模拟方法来估计某些随机事件发生的概率 用模拟方法可以 在短时间内完成大量的重复试验 对于某些无法确切知道概率的问 题 模拟方法能帮助我们得到其概率的近似值 模拟方法在实际中 有很多应用 规律总结用模拟方法估算面积 1 用模拟方法估算面积的关键是利用随机模拟法和几何概型的概 率公式分别求出几何概率 然后通过解方程得到相应部分面积的近 似值 2 对于较复杂的问题通常采用以下方法 要设计一个图形 使其面积与某个常数有关 设计一个几何概型 设计适当的试验 并通过这个试验结果来计算所求结果的近似 值 7 课前篇 自主预习 思考辨析 判断下列说法是否正确 正确的在后面的括号里画 错误的画 1 事件M 从区间 5 5 上任意取出一个数 求取到绝对值大于1的 数的概率 是几何概型 2 事件N 从区间 5 5 上任意取出一个整数 求取到大于1且小于 2的数的概率 是几何概型 3 事件P 向一个边长为10 cm的正方形内投一点 求点离中心不 超过1 cm的概率 是几何概型 答案 1 2 3 8 课堂篇 探究学习 探究一探究二探究三思维辨析当堂检测 与长度有关的几何概型的求解 例1 求解下列各题 1 取一根长5 m的绳子 拉直后在任意位置剪断 那么剪得的两段 绳子的长度都不小于2 m的概率是多少 2 某公司的班车在7 00 8 00 8 30发车 小明在7 50至8 30之间到 达发车站乘坐班车 且到达发车站的时刻是随机的 求他等车时间 不超过10分钟的概率 3 在半径为1的圆周上任取两点 连接两点成一条弦 求弦长超过 此圆内接正三角形边长的概率 9 课堂篇 探究学习 探究一探究二探究三思维辨析当堂检测 分析 1 剪断绳子的位置是任意的 且剪断的位置有无限多个 且 发生的可能性都是相等的 因此事件发生的可能性只与剪断位置所 处的绳子段的长度有关 2 用数轴画出班车发车时间与小明等车 不超过10分钟需要到达车站时间段 然后利用线段的长度比值表示 所求概型 3 也是几何概型 应先寻找满足弦长等于此圆内接正三 角形边长的点 再寻找满足弦长超过此圆内接正三角形边长的点 计算其长度 利用几何概型的概率公式计算 10 课堂篇 探究学习 探究一探究二探究三思维辨析当堂检测 解 1 如图所示 记事件A为 剪得的两段绳子的长度都不小于2 m 把绳子分成三段 于是当剪断点处在中间一段时 事件A发生 因 为中间一段绳子的长度是1 m 所以 2 如图所示 画出时间轴 小明到达的时间会随机地落在图中线段AB中 而当他的到达时间 落在线段AC或DB时 才能保证他等车的时间不超过10分钟 根据几 何概型得所求概率 11 课堂篇 探究学习 探究一探究二探究三思维辨析当堂检测 12 课堂篇 探究学习 探究一探究二探究三思维辨析当堂检测 反思感悟1 在求解与长度有关的几何概型时 首先找到几何区域 D 区域D可能是一条线段或几条线段或曲线段 然后找到事件A发 生时对应的区域d 在找区域d的过程中 确定边界点是问题的关键 但边界点是否取到不影响事件A的概率 2 若试验的结果构成的区域的几何度量可用长度表示 则其概率 的计算公式为P A 3 这里的长度 可以指直线段的长度 也可以指曲线段的长度 还 可以指时间的长度等 13 课堂篇 探究学习 探究一探究二探究三思维辨析当堂检测 答案 4 14 课堂篇 探究学习 探究一探究二探究三思维辨析当堂检测 与面积有关的几何概型的求解 例2 1 如图所示 一半径为2的扇形 其中扇形中心角为 90 在其内部随机地撒一粒黄豆 则它落在阴影部分的概率为 2 设点M x y 在 x 1 y 1对应区域内均匀分布 试在此平面区 域内取一点a 求点a距离边界不超过 的概率 15 课堂篇 探究学习 探究一探究二探究三思维辨析当堂检测 16 课堂篇 探究学习 探究一探究二探究三思维辨析当堂检测 反思感悟与面积有关的几何概型的概率求法 1 与面积有关的几何概型的概率公式 2 解与面积有关的几何概型问题应注意 1 根据题意确认所求问题的基本事件是否与面积有关 2 找出或构造随机事件对应的几何图形 并能求出有关图形的面 积 3 在研究射击 射箭 射门 投掷等问题时 常转化为几何概 型 利用面积计算来求其概率 17 课堂篇 探究学习 探究一探究二探究三思维辨析当堂检测 变式训练2 1 若x 2 2 y 2 2 则x2 y2 1的概率等于 2 2018江苏苏州高一同步练习 射箭比赛的箭靶中有五个涂有 不同颜色的圆环 从外向内分别为白色 黑色 蓝色 红色 靶心 是金色 金色靶心叫 黄心 奥运会的比赛靶面直径为122 cm 靶心 直径为12 2 cm 运动员在一定距离外射箭 假设每箭都能中靶 且射 中靶面内任意一点是等可能的 那么射中黄心的概率为多少 18 课堂篇 探究学习 探究一探究二探究三思维辨析当堂检测 19 课堂篇 探究学习 探究一探究二探究三思维辨析当堂检测 20 课堂篇 探究学习 探究一探究二探究三思维辨析当堂检测 与体积有关的几何概型的求解 例3 已知正方体ABCD A1B1C1D1内有一个内切球O 则在正 方体ABCD A1B1C1D1内任取点M 点M在球O内的概率是 2 有一杯2升的水 其中含有一个细菌 用一个小杯从这杯水中 取出0 1升水 求小杯水中含有这个细菌的概率 21 课堂篇 探究学习 探究一探究二探究三思维辨析当堂检测 反思感悟如果试验的结果所构成的区域可用体积来度量 我们要 结合问题的背景 选择好观察角度 准确找出基本事件所占的总的 体积及事件A所分布的体积 22 课堂篇 探究学习 探究一探究二探究三思维辨析当堂检测 变式训练3有一杯2升的水 其中含有一个细菌 用一个小杯从这 杯水中取出0 1升水 求小杯水中含有这个细菌的概率 解 把判断这个细菌所在的位置看成一次试验 设 所取的0 1升水 中含有这个细菌 为事件A 则事件A构成的区域体积是0 1升 全部试验结果构成的区域体积 是2升 所以 23 课堂篇 探究学习 探究一探究二探究三思维辨析当堂检测 因选错几何度量而致误 典例 在等腰直角三角形ABC中 过直角顶点C在 ACB内部 任作一条射线CM 与线段AB交于点M 求AM AC的概率 24 课堂篇 探究学习 探究一探究二探究三思维辨析当堂检测 纠错心得虽然在线段上任取一点是等可能的 但过点C和任取的 点所作的射线是不均匀的 因而不能把等可能取点看作等可能作射 线 因此不满足几何概型的条件 弄清基本事件的度量是正确解答 本题的关键 本题基本事件的度量是 ACB的大小而不是线段AB的 长度 因此在解决几何概型的问题时 一定要结合题意分清观察的 角度 25 课堂篇 探究学习 探究一探究二探究三思维辨析当堂检测 26 课堂篇 探究学习 探究一探究二探究三思维辨析当堂检测 27 课堂篇 探究学习 探究一探究二探究三思维辨析当堂检测 1 在区间 10 20 内的所有实数中 随机取一个实数a 则a 13的概率 为 答案 C 28 课堂篇 探究学习 探究一探究二探究三思维辨析当堂检测 解析 问题相当于在以O为球心 1为半径的球外 且在以O为球心 2 为半径的球内任取一点 答案 A 29 课堂篇 探究学习 探究一探究二探究三思维辨析当堂检测 3 一只小蜜蜂在一个棱长为3的正方体容器内自由飞行 若小蜜蜂 在飞行过程中始终保持与正方体6个表面的距离均大于1 称其为 安全飞行 则小蜜蜂 安全飞行 的概率为 答案 C 4 如图 在矩形ABCD中 点E为边CD的中点 若在矩形ABCD内部随 机取一个点Q 则点Q取自 ABE内部的概率等于 答案 C 30 课堂篇 探究学习 探究一探究二探究三思维辨析当堂检测 5 已知圆C x2 y2 9 1 若连续掷两次质地均匀的骰子 记向上的点数分别为m n 则点 m n 在圆C内的概率是多少 2 若m n是任意两个实数 且m 4 4 n 5 5 则点 m n 在圆C内 的概率是多少 31 课堂篇 探究学习 探究一探究二探究三思维辨析当堂检测 解 1 点在圆内需满足m2 n2 9 适合题意的点有 1 1 1 2 2 1 2 2 共4个 2 依题意 所有可能的点 m n 可构成一个长 宽分别为10和8的 矩形区域 如图