九年级数学 上 第三章 证明 三 3 2特殊的平行四边形 1 矩形的性质及判定 平行四边形的性质 w定理 平行四边形的对边相等 驶向胜利 的彼岸 w证明后的结论 以后可以直接运用 B D C A 四边形ABCD是平行四边形 AB CD BC DA w定理 平行四边形的对角相等 四边形ABCD是平行四边形 A C B D 定理 平行四边形的对角线互相平分 四边形ABCD是平行四边形 CO AO BO DO B D C A O 定理 夹在两条平等线间的平等线段相等 MN PQ AB CD AB CD B D C A MN P Q 回顾 思考 平行四边形的判定 驶向胜利 的彼岸 w定理 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 w定理 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 定理 对角线互相平分的四边形是平行四边形 定理 两组对角分别相等的四边形是平行四边形的 回顾 思考 w AB CD AD BC w 四边形ABCD是平行四边形 B D C A B D C A O w AB CD AB CD w 四边形ABCD是平行四边形 w AO CO BO DO w 四边形ABCD是平行四边形 w A C B D w 四边形ABCD是平行四边形 等腰梯形的性质 w定理 等腰梯形同一底上的两个角相等 w定理 等腰梯形的两条对角线相等 w在梯形ABCD中 AD BC w AB DC w AC DB w在梯形ABCD中 AD BC w AB DC w A D B C B D C A B D C A w证明后的结论 以后可以直接运用 回顾 思考 等腰梯形的判定 定理 同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形 在梯形ABCD中 AD BC A D或 B C AB DC 定理 两条对角线相等的梯形是等腰梯形 在梯形ABCD中 AD BC AC DB AB DC B D C A B D C A w证明后的结论 以后可以直接运用 回顾 思考 三角形中位线的性质 驶向胜利 的彼岸 w定理 三角形的中位线平行于第三边 且等于第三 边的一半 w这个定理提供了证明线段平行 和线 段成倍分关系的根据 模型 连接任意四边形各边中点 所成的四边形是平行四边形 要重视这个模型的证明过程反映出来的 规律 对角线的关系是关键 改变四边形 的形状后 对角线具有的关系 对角线相 等 对角线垂直 对角线相等且垂直 决 定了各中点所成四边形的形状 回顾 思考 w DE是 ABC的中位 DE B C A DE BC A B C H D E F G 四边形之间的关系 我思 我进步 1 1 w四边形之间有何关系 w特殊的平行四边形之间呢 w还记得它们与平行四边形的关系吗 w能用一张图来表示它们之间的关系吗 四边形 平行四边形 矩形 菱形 正方形 两组对边 分别平行 有一个角 是直角 有一组 邻边相等 有一个角 是直角 有一组 邻边相等 一组对边平行另 一组对边不平行 梯形 两腰相等 等腰梯形 腰与底垂直 直角梯形 矩形的性质 w定理 矩形的四个角都是直角 驶向胜 利的彼 岸 我思 我进步 2 2 已知 如图 四边形ABCD是矩形 w分析 由矩形的定义 利用对角 相等 邻角互补可使问题得证 证明 四边形ABCD是矩形 A 900 四边形ABCD是平行四边形 C A 900 B 1800 A 900 D 1800 A 900 求证 A B C D 900 四边形ABCD是矩形 D BC A 想一想 正方形的四 个角都是直角吗 矩形的性质 驶向胜利 的彼岸 我思 我进步 3 3 w定理 矩形的两条对角线相等 已知 如图 AC BD是矩形ABCD的两条对角线 求证 AC BD 证明 四边形ABCD是矩形 AB DC ABC DCB 900 w分析 根据矩形的性质性质 可转 化为全等三角形 SAS 来证明 D BC A BC CB ABC DCB SAS AC DB 直角三角形的性质 驶向胜 利的彼 岸 我思 我进步 4 4 w议一议 设矩形的对角线AC与BD交于点E 那么 BE 是Rt ABC中一条怎样的特殊线段 w它与AC有什么大小关系 为什么 D BC A E w由此可得推论 直角三角形斜边上 的中线等于斜边的一半 wBE是Rt ABC中斜边AC上的中线 wBE等于AC的一半 AC BD BE DE 矩形性质的应用 驶向胜 利的彼 岸 例题欣赏 4 4 例1 已知 矩形ABCD的两条对角线AC BD相交于点 O AOD 1200 AB 2 5cm 求矩形对角线的长 解 四边形ABCD是矩形 BD 2AB 2 2 5 5 cm AC BD 且 DAB 900 D BC A O AOD 1200 ODA OAD 你认为例1还可以 怎么去解 矩形的判定 w定理 有三个角是直角的四边形是矩形 驶向胜 利的彼 岸 我思 我进步 2 2 已知 如图 在四边形ABCD中 A B C 900 w分析 利用同旁内角互补 两直线平行来证明四边形 是平行四边形 可使问题得证 证明 A B C 900 A B 18000 B C 1800 AD BC AB CD 求证 四边形ABCD是矩形 四边形ABCD是平行四边形 D BC A 四边形ABCD是矩形 矩形的判定 w定理 对角线相等的平行四边形是矩形 驶向胜 利的彼 岸 我思 我进步 2 2 已知 如图 在 ABCD中 对角线AC BD 求证 四边形ABCD是矩形 D BC A w分析 要证明 ABCD是矩形 只 要证明有一个角是直角即可 w证明 AB CD AB CD AC DB BC CB ABC DCB ABC DCB 四边形ABCD是平行四边形 ABC DCB 1800 ABC 900 四边形ABCD是矩形 直角三角形的判定 驶向胜 利的彼 岸 我思 我进步 4 4 w定理 如果一个三角形一边上的中线等于这边的一 半 那么这个三角形是直角三角形 w求证 ABC是直角三角形 已知 CD是 ABC边AB上的中线 且 EA B C D w分析 要证明 ABC是直角三角形 可以点A B C构造平行四边形 然后 证明其对角线相等 即可证明是矩形 w证明 延长CD到E 使DE DC 连接 AE BE 四边形ACBE是平行四边形 AB 2CD CE 2CD AC DB 四边形ACBE是矩形 AD BD CD ED ACB 900 ABC是直角三角形 P88习题3 4 3题 祝你成功 独立 作业 已知 如图 四边形ABCD是平行四边形 P是 CD上的一点 且AP和BP分别分别平分 DAB 和 CBA QP AD 交AB于点Q 1 求证 AP PB 2 如果AD 5cm AP 8cm 那么AB的长是多 少 APB的面积是多少 A B C DP Q 矩形的性质 推论 驶向胜利 的彼岸 w定理 矩形的四个角都是直角 w定理 矩形的两条对角线相等 推论 直角三角形性质 直角三角形 斜边上的中线等于斜边的一半 回顾 思考 w 四边形ABCD是矩形 A B C D 900 D BC A D BC A w AC BD是矩形ABCD的两条对角线 AC BD 在 ABC中 ACB 900 AD BD A B C D 矩形的判定 直角三角形的判定 驶向胜利 的彼岸 w定理 有三个角是直角的四边形是矩形 w定理 对角线相等的平行四边形是矩形 w定理 如果一个三角形一边上的中 线等于这边的一半 那么这个三角 形是直角三角形 回顾 思考 w A B C 900 四边形ABCD是矩形 D BC A D BC A w AC BD是 ABCD的两条对角线 且AC DB 四边形ABCD是矩形 A B C D ACB 900 在 ABC中 AD BD CD 思考题 1 如图 在矩形ABCD中 对角线交于点O AB 2 AOB 60 AE BD于E 求BC BD BE的长和 ADB BAE的 度数 2 如图 在 ABC中 O为AB边的中点 OA OB OC 5 AC 6 求BC的长及 ABC的面积 3 如图 M N分别是 ABCD的对边AD BC的中点 且AD 2AB 求证 PMQN是矩形 4 如图 矩形ABCD中 AE平分 BAD AE 交BC于E 连接DE EF DE于E EF交AB于F 求证 DE EF 独立 作业 结束寄语 严格性之于数学家 犹如道德之 于人 条理清晰 因果相应 言必有据 是初学证明者谨记和遵循的原 则 下课了