第五讲 解析几何与微分几何简 史 一 解析几何简史 l在数学发展史上 17世纪前基本属于常量数学时期 也称初等数学时期 这个时期人们考虑的只是常量与 固定的图形 其基本的成果构成现在中学数学的主要 内容 到16世纪 由于天文 航海 采矿等生产实践 的需要 促使数学有了一个飞跃的发展 于是产生了 变量数学 这个时期 解析几何与微积分的出现标志 着近代数学的开始 1 数学中的转折点 变量数学建立的一个标志就是17世纪初法国数学家 笛卡儿 他把变量引进了数学 并创立了坐标的概念 1637年发表了长篇论著 其中后一部分以 几何学 命 名 包括现在平面解析几何中十分完全的叙述 对此 恩格斯在 自然辩证法 中指出 数学中的转折点是 笛卡儿的变数 有了变数 运动进入了数学 有了变数 辩证法进入了数学 有了变数 微分和积分也就立刻 成为必要的了 l现代公认的解析几何的创始人是法国第一流的哲学家 物理学家 生物学家 数学家笛卡儿 R Descartes 1596 1650 1628年移居荷兰 潜 心于哲学和数理的研究 写成 宇宙论 方法论 等多种著作 l笛卡儿对欧氏几何十分偏爱 但又深感几何命题的每 一步证明 总是要求某种新的 依赖于图形直观的奇 巧构思 他深信 只要把几何和代数的力量结合在一 起 互相取长补短 就能弥补欧氏几何的缺陷 就能 找到一种解决所有几何问题的统一方法 2 笛卡儿的坐标法与 几何学 l1637年 更好地指导推理和寻求科学真理的方法论 一书出版 作为该书三个附录之一的 几何学 阐述了他的坐标几何的思想 标志着解析几何的诞生 几何学 共分三卷 l卷一讨论直线型和圆的尺规图 l卷二讨论曲线的性质及巴布士的轨迹问题 l卷三讨论当时流行的图解方程问题 特别是三次以上 的代数方程图解问题 其中包含了笛卡儿的符号法则 l笛卡儿在 几何学 中通过选定一条射线作为基线的 方法建立了倾斜坐标系 用两个坐标x y表示平面点的 位置 形成了明确的坐标概念 l然后 他借助于坐标 并通过点动成线的观点用以建 立曲线的方程 笛卡儿的方程不只是已知数和未知数 之间的一个关系式 而是两个变数之间的一个关系式 是平面曲线的一种全新的表示方法 这就实现了代 数与几何的相互结合 开创了一门崭新的数学学科 坐标几何 1792年拉克鲁瓦 Lacroix 定名为解 析几何 3 解析几何的两类课题 l一类是已知方程求曲线 用方程的代数性质研究对 应曲线的几何性质 l另一类是已知曲线或仅仅是曲线的某些几何特征 确定曲线的方程 并用曲线的几何性质探讨对应方 程的代数性质 l笛卡儿的功绩在于 它证明了几何问题可以转化为 代数问题 因此 可以使用代数方法研究几何对象 或者说 用形来表示数 用数来研究形 进而探 讨周围变化着的客观世界 l因为客观世界不过是固体化了的空间 或者说是几何 学的化身 正如笛卡儿所说 给我延展和运动 我将 把宇宙构造出来 笛卡儿的解析几何向着实现这一目 标 前进了一大步 l笛卡儿研究了线段的定比分点 两点间的距离 三角 形的面积等简单几何问题 并用含已知点的坐标的代 数公式给出了这些几何问题的解 进一步 他指出 如果两条曲线以同一个坐标系为参考 则其交点有它 们的方程的公共解来确定 求出曲线y f x 与直线y 0 的交点 相当于找到了代数方程f x 0的解 这就创 造了一种用几何曲线解代数方程的图解法 l笛卡儿充分认识到代数的重要性 从逻辑上看 代数 的地位更基础一些 分析也是代数的延展 这就使代 数不仅从几何中独立出来 而且成为一个重要的数学 分支 l自然 笛卡儿的工作也不是完美无缺的 他没有引入 第二条坐标轴 即y轴 也没有明确使用过 横坐标 纵坐标 坐标 等解析几何的语言 他的坐标轴 只有正向而没有负向 因此 他的曲线仅限于x取正 值的第一象限之内 在十八世纪 人们把 代数 和 解析 两个词 等同对待 当时的解析法即为代数法 因此 为 这门新几何命名时 称之为解析几何 后来 一 直沿用到现在 4 费马的工作 l著名法国数学家费马 Fer mat1601 1665 与笛卡 儿的区别在于 l笛卡儿侧重从轨迹出发然后寻找它的方程 而费马则 从方程出发去研究轨迹 l笛卡儿对希腊人的传统持批判的观点 而费马是从继 承希腊人的思想开始工作的 1629年费马写成 平面和空间轨迹引论 一书 内容是关于直线 圆和圆锥曲线方面的 书中通过引进 坐标 找到了用研究代数方程推断曲线性质的一般方法 从而将几何命题的证明归结为一种代数技巧 降低了 几何证明的繁难程度 为此 他在平面上取一条底线 考察平面上任意曲线的一般点J J的位置用两个字母A E确定 A是底线上O到Z的距离 E是Z到J的距离 ZJ 是倾斜于底线OZ的 易于看出 费马所用的坐标就是今 天的倾斜坐标 A E就是X Y 随后 他给出了几种常 见曲线的轨迹方程 用现在的记法 就是 l过原点的直线 ax by l任意直线 d a x by l圆 l椭圆 l双曲线 l另一种双曲线 xy a l抛物线 l费马精辟地加以概括 凡含有两个未知数的方程 总可确 定一个轨迹 并能画出一条直线或曲线 l但是 费马和笛卡儿一样 既没有y轴的概念 也不用负数 不能认为是成熟的坐标几何 5 解析几何的不断完善 l英国数学家瓦里斯 Wallis1616 1703 在1655 年出版的 圆锥曲线论 一书中 才引进了纵横轴和 负坐标 把曲线范围扩大到整个实平面 l这部著作中 他还考察了阿波罗尼的圆锥曲线理论 用代数方程定义圆锥曲线 历史上第一次搞清了圆锥 曲线就是含 的二次方程所表示的曲线 把坐标几何推广到三维空间的是拉 希尔 L Hire 的工作 他在1679年的论文中 用三个坐标表示空间的点 并给出了空间 曲面的方程 1691年雅各 伯努利 Jakob Bernoulli1654 1705 引 入了极坐标 先后发现了双纽线 悬链线 对数螺线和旋轮线等 多种特殊曲线 1705年 居西尼 Guisnee 在 代数在几何中的应用 一书中 第一次明确使用直角坐标系 1731年 法国的克雷洛 Clairaut1713 1765 指出 表示空间曲线需要两个曲面方程 而x y z的齐 次方程则表示顶点在原点的锥面 方程表示是绕z轴旋 转的旋转曲面 第一本现代形式的解析几何教程是1784年出版的欧 拉 Euler1707 1783 的 无穷小分析引论 该书的第二部分专讲几何学 引入了直角坐标 斜 角坐标和极坐标的概念 使用了弧度制 定义了三角函 数 给出了六种三角函数的现代记号 详尽地研究了一 般二次曲线以及部分高次曲线 定义了欧拉角 给出了 空间直角坐标变换的公式 考察了一般形式的三元二次 方程表示的曲面 以及将它化为锥面 柱面 椭球面 单叶双曲面和双叶双曲面 椭圆抛物面和双曲抛物面的 方法 1788年法国数学家 天文学家 物理学家拉格朗日 Lagrange1736 1813 发表了他的最重要的力学著作 解析力学 书中使用向量表示力 速度和加速度等具 有方向的量 用于研究质点力学和刚体力学 为向量几何 奠下了第一块基石 1804年法国数学家蒙日 Monge1746 1818 和他的 学生哈歇特 Hachette 在 代数在几何中的应用 一书中 证明了二次曲面的平截线是二次曲线 单叶双曲面和双 曲抛物面都是直纹曲面 欧拉 拉格朗日和蒙日公认为是使解析几何成为一门 独立学科的最重要的三位数学家 1827年和1831年 德国的莫比乌斯 Mobius 和普吕 克 Plucker 分别在 重心计算 和 解析几何的发 展 两本书中各自独立地引进了齐次坐标 用以研究曲 线的无穷远性质 1844年 德国人格拉斯曼 Grassmann 最先提出多 维欧氏空间的概念 引进了向量的记号 定义了向量的 数量积 使解析几何从坐标代数进入向量代数的更高阶 段 二 微分几何简史 经典微分几何学是运用数学分析的理论研究曲线 或曲面在它一点邻域的性质 换句话说 它是研究一 般的曲线和曲面在 小范围 上的性质的数学分支学科 微分几何学的产生和发展是和数学分析密切相连 的 在这方面第一个做出贡献的是瑞士数学家欧拉 1736年他首先引进了平面曲线的内在坐标这一概念 即以曲线弧长这以几何量作为曲线上点的坐标 从而 开始了曲线的内在几何的研究 1 微分几何概况 l十八世纪初 法国数学家蒙日首先把微积分应用到曲线和曲面 的研究中去 并于1807年出版了它的 分析在几何学上的应用 一书 这是微分几何最早的一本著作 l1827年 高斯发表了 关于曲面的一般研究 的著作 这在微 分几何的历史上有重大的意义 它的理论奠定了现代形式曲面 论的基础 微分几何发展经历了150年之后 高斯抓住了微分 几何中最重要的概念和带根本性的内容 建立了曲面的内在几 何学 其主要思想是强调了曲面上只依赖于第一基本形式的一 些性质 例如曲面上曲面的长度 两条曲线的夹角 曲面上的 一区域的面积 测地线 测地线曲率和总曲率等等 他的理论 奠定了近代形式曲面论的基础 l1872年克莱因在德国埃尔朗根大学作就职演讲时 阐 述了 埃尔朗根纲领 用变换群对已有的几何学进 行了分类 在 埃尔朗根纲领 发表后的半个世纪内 它成了几何学的指导原理 推动了几何学的发展 导致了射影微分几何 仿射微分几何 共形微分几何 的建立 l随后 由于黎曼几何的发展和爱因斯坦广义相对论的 建立 微分几何在黎曼几何学和广义相对论中的得到 了广泛的应用 逐渐在数学中成为独具特色 应用广 泛的独立学科 即发展为近代微分几何 l总之 经典微分几何起源于微积分 主要内容为曲线 论和曲面论 欧拉 蒙日和高斯被公认为古典微分几 何的奠基人 2 经典微分几何学的基本内容 l以光滑曲线 曲面 作为研究对象 由曲线的弧线长 曲线上一点的切线等概念展开的 既然是研究一般曲 线和一般曲面的有关性质 则平面曲线在一点的曲率 和空间的曲线在一点的曲率等 就是微分几何中重要 的讨论内容 而要计算曲率就要用到微分的方法 l在曲面上有两条重要概念 就是曲面上的距离和角 比如 在曲面上由一点到另一点的路径是无数的 但 这两点间最短的路径只有一条 叫做从一点到另一点 的测地线 在平面上 测地线是直线 而在一般的曲 面上 测地线起到直线的作用 在微分几何里 要讨 论怎样判定曲面上一条曲线是这个曲面的一条测地线 还要讨论测地线的性质等 l另外 讨论曲面在每一点的曲率也是微分几何的重要内 容 在微分几何中 为了讨论任意曲线上每一点邻域的 性质 常常用所谓 活动标形的方法 l对任意曲线的 小范围 性质的研究 还可以用拓扑变换 把这条曲线 转化 成初等曲线进行研究 l微分几何在力学和一些工程技术问题方面有广泛的应用 比如 在弹性薄壳结构方面 在机械的齿轮啮合理论 应用方面 都充分应用了微分几何学的理论 3 近代微分几何 l近代由于对高维空间的微分几何和对曲线 曲面整体 性质的研究 使微分几何学同黎曼几何 拓扑学 变 分学 李群代数等有了密切的关系 这些数学部门和 微分几何互相渗透 已成为现代数学的中心问题之一 l微分几何研究微分流形的性质 是现代数学中一主流 是广义相对论的基础 与拓扑学 代数几何及理论 物理关系密切 l近代微分几何的创始人是黎曼 他在1854年创立了黎 曼几何 实际上黎曼提出的是芬斯勒几何 这成为 近代微分几何的主要内容 并在相对论有极为重要的 作用 埃利 嘉当和陈省身等人曾在微分几何领域做出 极为杰出的贡献 l微分几何的工具也就是流形上的微积分 包括对于流 形 切丛 余切丛 微分形式 外微分 p 形式在p 维子流形上的积分以及斯托克斯定理 楔积 和李导 数的研究