第2课时 等差数列前n项和公式的变形及应用 第2章 2 2 3 等差数列的前n项和 学习目标 1 会利用等差数列性质简化求和运算 2 会利用等差数列前n项和的函数特征求最值 问题导学 达标检测 题型探究 内容索引 问题导学 知识点一 等差数列前n项和与等差中项的关系 思考 在等差数列 an 中 若a3 2 求S5 知识点二 等差数列前n项和的最值 答案 由二次函数的性质可以得出 当a10时 Sn先减后增 有最小 值 当a1 0 d0 d 0 则数列的前面若干项为正项 或0 所以将这些项相 加即得 Sn 的最大值 2 若a10 则数列的前面若干项为负项 或0 所以将这些项相 加即得 Sn 的最小值 3 若a1 0 d 0 则 Sn 是递增数列 S1是 Sn 的最小值 若a1 0 d0 又 n N 当n 13时 Sn有最大值169 方法三 同方法一 求出公差d 2 S9 S17 a10 a11 a17 0 由等差数列的性质得a13 a14 0 a13 0 a140 d 0 则Sn存在最大值 即所有非负项之和 若a10 则Sn存在最小值 即所有非正项之和 2 求等差数列前n项和Sn最值的方法 寻找正 负项的分界点 可利用等差数列性质或利用 运用二次函数求最值 跟踪训练2 已知在等差数列 an 中 a1 9 a4 a7 0 1 求数列 an 的通项公式 解 由a1 9 a4 a7 0 得a1 3d a1 6d 0 解得d 2 an a1 n 1 d 11 2n 解答 2 当n为何值时 数列 an 的前n项和取得最大值 解 方法一 由 1 知 a1 9 d 2 当n 5时 Sn取得最大值 方法二 由 1 知a1 9 d 20 n 6时 an0 当n 35时 ana5 则Sn取得最 小值时n的值为 6 解析 又a9 a5 所以d 0 a10 d 0 3 求等差数列 an 前n项的绝对值之和 关键是找到数列 an 的正负项的 分界点