线性代数应用 本章要点 本章讨论MatLab在线性代数中的若干应用 主要内容 有 一 多项式 二 行列式 三 求解方程组 四 特征值与特征多项式 五 求解方程组的迭代法 一 多项式 1 多项式与多项式的根 多项式定义 格式 功能定义多项式 例 定义多项式 输入语句 返回值 在上面表达中 可以是一个向量 继续输入 返回值 计算函数值 相关函数 求多项式的复数根 返回由系数决定的多项式 返回由根决定的多项式的系数 返回矩阵多项式值 输入语句 返回值 即 再输入 返回值 2 多项式的运算 多项式的乘法 多项式的除法 例 求多项式 的和 程序如下 返回值 3 有理函数的分解与合并 格式 功能对有理函数作高斯分解 分解 例 对有理函数作高斯分解 输入语句 结果为 若以有理数形式输出 则得到分解式 输入语句 结果为 即 例 分解表达式 输入语句 结果为 即 合并同类项 格式 功能对符号多项式进行合并 例 对多项式 进行合并 输入语句 结果为 例 将简单分式 合并成一个有理分式 输入语句 结果为 即 二 行列式 1 矩阵的行列式 格式 功能求方阵 的行列式 例 求方阵 的行列式 输入语句 返回值 例 计算行列式 输入语句 返回值 输入语句 返回值 例 利用行列式求解方程组 程序如下 结果为 即 注 该程序可适用于一般方程组的解法 更一般地 可 建立相应的函数文件 三 求解方程组 1 求矩阵的秩 格式 功能求矩阵 的秩 例 求矩阵 的秩并求相应的最简形式 输入语句 返回值 最简形矩阵为 例 求解方程组 结果为 该问题的最小二乘解为 程序如下 该问题的实际背景是数据的拟合问题 问题 有一组观察数据 求相应的最小二乘解 0 520 330 20 120 045 0 50 40 30 20 1 程序如下 图形对比 2 线性方程组的通解 格式 功能求方程 的基础解系 格式 功能求方程 的基础解系 例 求解方程组 程序为 结果为可解 唯一解 若将常数列修改为 则结果为 例 求解方程组 结果为 四 特征值与特征多项式 1 相关函数 求方阵的迹 求矩阵的特征多项式系数 求正交空间 例 求矩阵 的特征值 线性无关的特征向量及特征多项式 程序为 结果为 对角阵 2 对称矩阵的对角化 在线性代数中我们知道 实对称矩阵 一定可以正交 相似于一个对角阵 例 设矩阵 求正交阵 使得 为对角阵 程序如下 结果为 即 为正交阵 例 求一个正交变换将二次型 化为标准型 首先写出该二次型的二次型矩阵 运行如下程序 结果为 此时正交变换为标准型为 事实上 五 求解方程组的迭代法 求解线性方程组的方法一般有直接法和迭代法 直接法 经过有限次的计算 得到方程的精确解或 近似解 1 高斯消元法 消元法 消元法由消元和回代两个过程构成 消元法与分解 例 由高斯消元法求解方程组 解 由原方程组变形得到 消去 消去 回代 回代 即 原方程的解为 这样的过程就是一个消元法的完整过程 消元过程的矩阵分析 左乘 左乘 记 则有 记 则 这样的分解称为 分解 其中 为下三角阵 为上三 角阵 此时方程组为 该方程转变为两个方程组 对称正定阵的 分解 设 为对称正定阵 则存在对角元素为正的三角阵 使得 或 这里 为单位上三角 阵 为对角元为正的对角阵 这样的分解称为 分解 误差分析 所谓误差分析是指当方程 中的 有微小的改变时 讨论解的改变情况 首先看下面的例子 例 设方程 方程的解为若取 则方程的解为 这种由于系数矩阵或常数项的微小改变而引起解的很 大改变的方程称为病态方程 相应的矩阵称为病态矩阵 向量范数与矩阵范数 向量范数 设向量 范数 范数 范数 当 时 相应的范数为 范数 矩阵范数 设矩阵 范数 范数 结论 相容性条件 矩阵条件数 定义设 为可逆矩阵 定义矩阵 的条件数为 记为 即 相应的MatLab函数 三角分解 三角分解 正定阵的 分解 矩阵或向量的 范数 矩阵或向量的 范数 矩阵或向量的 范数 矩阵或向量的 条件数 矩阵或向量的 条件数 矩阵或向量的 条件数 对前面的例子运行下面程序 结果为 和前面计算结果一致 例 对 阶 矩阵及 矩阵 计算相应的条 件数 程序为 结果为 进一步地有 结果为 误差分析 设方程给 以微小扰动 由此引起的 的 扰动记为 即有 从而有 再由范数性质得 又 即有 两式做商得 由此可见 对 的敏感程度依赖于 回到前例 方程为 此时 2 迭代法 对大型的稀疏矩阵 求解矩阵方程 通常使 用迭代的方法加以求解 以下面的例子来说明迭代过程 例 求解方程 解 将方程改写成 上式表明 对每一组代入上 式的右端 即可得到另一组若这两组 相等 即得到 方程之解 程序如下 结果为 该方程的精确解为计算结果表明 经 过 次迭代 所得到的向量与精确解相当接近 雅克比迭代 设其中 若对角阵 非奇异 则方程转化为 记 则方程的迭代形式 可写成 由此可见 若序列收敛于 则 必是方程之解 该迭代即称为雅克比迭代 高斯 赛德尔迭代 在迭代法的引例中 可以发现迭代可以进一步修改为 即 若对角阵 非奇异 则迭代式转化为 记则 该迭代即称为高斯 赛德尔迭代 程序为 下三角阵 下三角阵 两种迭代法结果比较 雅克比迭代 赛德尔迭代 收敛性 两种迭代公式的一般形式为 设 是方程的解 即两式相减后有 将后式代入前式则有 因此 设 的特征值为记 称其为矩阵 的谱半径 由此得到 结论1 若矩阵 严格对角占优 即 则雅克比迭代与高斯 赛德尔迭代均收敛 结论2 若矩阵 为对称正定阵 则高斯 赛德尔迭代 收敛 在上例中 矩阵 此时 为严格对角占优的 因而雅克比迭代收敛 六 应 用 1 投入和产出模型 国民经济各个部门之间存在着相互依存的关系 每个 部门在运转中将其它部门的产品或半成品 称为投入 经过加工变为自己的产品 称为产出 如何根据各部 门间的投入产出关系 确定各部门的产出水平 以满足 社会需要 是投入产出分析中的课题 投入产出表描述了国民经济各部门之间的生产和消耗 投入和产出的数量关系 下表是一张简化的中国2002年投入产出表 表中国民经济由农业 工业 建筑业 运输邮电业 批零餐饮业和其他服务业6个中间部门构成 数字表示它 们之间的投入产出关系 外部需求 初始投入等 5414234115702875168142918总投 3093121870365948151663初始 541427255422192252721285146服务 23419272731304314074979批零 15704771466716312852762运输 287526911242320395建筑 168144083122355740314448605499工业 291812841312713229788464农业 产出外部服务批零运输建筑工业农业 投入 产出 投入产出表 数据表的说明 行表示该部门的产品分配给各部门作生产使用的数量 列表示该部门生产中消耗的各部门产品的数量 消耗系数 定义 表示第 个部门1个单位的产出对第 个部门的 直接消耗 消耗系数由投入产出表可直接计算 例如对此时总产出而工业部门 对其投入为因而消耗系数为 同理可以计算其它系数 由此得消耗系数表 0 1000 0940 1430 0950 0760 050服务 0 0500 0560 0270 0490 0450 027批零 0 0270 0290 1040 0450 0310 021运输 0 0230 0100 0130 0010 0010 002建筑 0 2260 2380 2570 5020 5120 171工业 0 0020 0540 0080 0800 0470 159农业 其它批零运输建筑工业农业 产出 投入 数据意义分析 以第一列为例说明 农业部门每一个单位的产值 要 直接消耗0 159单位的本部门产品 0 171个单位的工业产 品 0 002个单位的建筑业产品 0 021个单位的邮电服务 0 027个单位的批发零售与餐饮服务 0 050个单位的其它 服务 直接消耗系数反应了国民经济各个部门之间的生产联 系 这些联系是通过中间投入或中间消耗发生的 投入产出模型是讨论对一个部门产品的外部需求的变 化所引起该部门甚至所有部门的产出量的变化 在技术水平没有明显提高的情况下 假设消耗系数不 变 要求建立投入产出的数学模型 并回答以下问题 如果某年对农业 工业 建筑业 运输邮电业 批 零餐饮业和其它服务业的外部需求分别为1500 4200 3000 500 950 3000亿元 问这6个部门的总产出分别 为多少 如果6个部门的外部需求分别增加一个单位 问他们 的总产出应分别增加多少 投入产出称为可行的 是指对任意给定的 非负的 外部需求 都能得到非负的的总产出 为了可行 消耗 系数应满足什么条件 模型建立 设有 个部门 记一定时期内第 个部门的总产出为 外部需求为 则其中对第 个部门的投入为 表1中的每行都应满足 式 相应的消耗系数为 将 代入 有 记 则 式变形为 即 当消耗系数矩阵和外部需求确定后 则可得到相应的 总产出 对问题一 当外部需求为 时 编写下面程序 运行后的结果为 若六个部门的外部需求均增加一个单位 计算相应 的总产出的增加值 由 式 得 即产出与需求为线性关系 从而有 当取 则 为 中的第 一列 由此得 输入语句 结果 农业需求增加一个单位时 各部门相应的增加值 可行性分析 欲使对任意的总能得到此时需 因 若则有 注意到 又 因此相应的条件为 当取 范数时 则相应的条件为 此时投入产出分析可行 因 是消耗系数矩阵 因而相应的条件等价于 所以只要投入非负 则投入产出分析可行