2 1 2 向量的加法 第二章 2 1 向量的线性运算 学习目标 1 理解并掌握向量加法的概念 了解向量加法的物理意义及其几 何意义 2 掌握向量加法的三角形法则和平行四边形法则 并能熟练地运 用这两个法则作两个向量的加法运算 3 了解向量加法的交换律和结合律 并能依据几何意义作图解释 向量加法运算律的合理性 问题导学 达标检测 题型探究 内容索引 问题导学 知识点一 向量加法的三角形法则与平行四边形法则 分析下列实例 1 飞机从广州飞往上海 再从上海飞往北京 如图 这两次位移的结果与飞机从广州直接飞往北京的位 移是相同的 2 有两条拖轮牵引一艘轮船 它们的牵引力分别是 F1 3 000 N F2 2 000 N 牵引绳之间的夹角为 60 如图 如果只用一条拖轮来牵引 也能产生 跟原来相同的效果 思考1 从物理学的角度来讲 上面实例中位移 牵引力说明了什么 体现了向量的什么运算 思考2 上述实例中位移的和运算 力的和运算分别用了什么法则 答案 三角形法则和平行四边形法则 体现了向量的加法运算 梳理 1 向量加法的定义 求 的运算 叫做向量的加法 2 三角形法则 两个向量和 a b 对于零向量与任一向量a的和 有a 0 0aa 3 平行四边形法则 三点不共线 以 为邻边作 ABCD 则对角线上的向 平行四边形 ABAD 知识点二 向量求和的多边形法则 思考 如果一个动点先由点A位移到点B 再由点B位移到点C 最后由 点C位移到点D 那么动点的合位移向量是多少 由此可得到向量加法 的什么法则 梳理 已知n个向量 依次把这n个向量首尾相连 以第一个向量的始 点为始点 第n个向量的终点为终点的向量叫做这n个向量的和向量 这个法则叫做向量求和的多边形法则 知识点三 向量加法的运算律 思考1 实数加法有哪些运算律 答案 交换律和结合律 a b b a a b c a b c 梳理 向量加法的运算律 交换律a b 结合律 c a a bb c b a 思考辨析 判断正误 1 0 a a 0 a 答案 题型探究 类型一 向量加法的三角形法则和平行四边形法则 例1 如图 1 2 已知向量a b c 求作向量a b和a b c 1 2 解答 反思与感悟 向量加法的平行四边形法则和三角形法则的区别和联系 区别 1 三角形法则中强调 首尾相接 平行四边形法则中强调 共起点 2 三角形法则适用于任意两个非零向量求和 而平行四边形法则仅适 用于不共线的两个向量求和 联系 1 当两个向量不共线时 向量加法的三角形法则和平行四边形 法则是统一的 2 三角形法则作出的图形是平行四边形法则作出的图形的一半 跟踪训练1 如图所示 O为正六边形ABCDEF的中心 化简下列向量 答案 0 类型二 向量加法运算律的应用 例2 化简 解答 反思与感悟 1 根据向量加法的交换律使各向量首尾连接 再运用向量 的结合律调整向量顺序后相加 答案解析 类型三 向量加法的实际应用 例3 在静水中船的速度为20 m min 水流的速度为10 m min 如果船 从岸边出发沿垂直于水流的航线到达对岸 求船行进的方向 解答 解 作出图形 如图所示 船速v船与岸的方向成 角 由图可知v水 v船 v实际 结合已知条件 四边形ABCD为平行四边形 在Rt ACD中 60 从而船与水流方向成120 的角 船是沿与水流的方向成120 的角的方向行进的 解答 解 由例3知v船 20 m min 引申探究 1 若本例中条件不变 则经过1 h 该船的实际航程是多少 解答 解 如图 作平行四边形ABDC 2 若本例中其他条件不变 改为若船沿垂直水流的方向航行 求船实 际行进的方向与岸方向的夹角的正切值 即船实际行进的方向与岸方向的夹角的正切值为2 反思与感悟 向量既有大小又有方向的特性在实际生活中有很多应用 准确作出图象是解题关键 跟踪训练3 如图 用两根绳子把重10 N的物体W吊在水平杆子AB上 ACW 150 BCW 120 求A和B处所受力的大小 绳子的重 量忽略不计 解答 易得 ECG 180 150 30 FCG 180 120 60 达标检测 答案解析 12345 2 如图 D E F分别是 ABC的边AB BC CA的中点 则下列等式 中错误的是 答案解析 故选D 12345 答案解析 12345 A 矩形B 正方形 C 平行四边形D 菱形 12345 四边形ABCD为平行四边形 答案解析 12345 答案解析 解析 如图 河水的流速为 v2 10 km h 小船的实际航行速度为v0 则由 v1 2 v2 2 v0 2 所以 v0 20 km h 即小船实际航行速度的大小为20 km h 20 规律与方法 1 三角形法则和平行四边形法则都是求向量和的基本方法 两个法则是 统一的 当两个向量首尾相连时常选用三角形法则 当两个向量共起点 时 常选用平行四边形法则 2 向量的加法满足交换律 因此在进行多个向量的加法运算时 可以按 照任意的次序和任意的组合去进行 3 在使用向量加法的三角形法则时要特别注意 首尾相接 和向量的特 征是从第一个向量的起点指向第二个向量的终点 向量相加的结果是向量 如果结果是零向量 一定要写成0 而不应写成0